1.2.2 Классический метод определения вероятности

Если пространство элементарных событий некоторого эксперимента состоит из конечного числа элементов ₁, ₂, …, _n, причём все исходы являются равновозможными, то есть

P(₁) = P(₂) = … = P(_n),

то для определения вероятности любого события A, связанного с данным экспериментом, можно воспользоваться так называемым классическим методом определения вероятности, согласно которому вероятность любого события A определяется по формуле

(1)

где m – число элементарных исходов, благоприятных событию A;

n – общее число исходов пространства элементарных событий .

Ограничения классического способа:

а) все элементарные исходы вероятностного эксперимента Е должны быть равновозможными, то есть =  , для любых ;

б) множество всех элементарных исходов пространства  должно быть конечным. Например, классический метод нельзя применить для вычисления вероятности того, что монета выпадет при втором подбрасывании монеты для примера 4:

Е: Подбрасывание монеты до тех пор, пока на ней не выпадет герб.

 = {Г, РГ, РРГ, РРРГ, РРРРГ, РРРРРГ, … }. В данном случае пространство  бесконечно.

Пример 7  При наборе телефонного номера абонент набирает 2 последние цифры наугад, помня лишь, что они одинаковые и нечетные. Найти вероятность того, что номер будет набран правильно с первой попытки.

Решение. Элементарными исходами рассматриваемого эксперимента являются возможные варианты последовательного набора двух одинаковых цифр из пяти. В условии указано, что цифры нечетные и одинаковые, поэтому выбирать будем дважды одну и ту же цифру из 1, 3, 5, 7, 9.

Пространство элементарных исходов рассматриваемого эксперимента:

 = {(1, 1), (3, 3), (5, 5), (7, 7), (9, 9)}.

В данном случае пространство элементарных исходов состоит из 5 элементов: n = 5.

Поскольку цифры набираются случайным образом, все элементарные исходы равновозможны, то для вычисления вероятности интересующего нас события можно воспользоваться классическим методом определения вероятностей.

Число исходов, благоприятных событию A, равно 1, так как при наборе только одной комбинации цифр номер будет набран правильно : m = 1.

Отсюда:

Пример 8 Бросают две игральные кости. Определить вероятности событий A = {на верхних гранях двух костей выпадут нечетные числа очков}; событие B ={на верхних гранях двух костей выпадет число очков, сумма которых меньше 10}; С = {на верхних гранях двух костей выпадет число очков, сумма которых не меньше 10}.

Решение. Пространство элементарных исходов данного эксперимента состоит из 36 элементов и может быть представлено в условных обозначениях следующим образом:

 = , (n = 36),

где, например, исход (11) соответствует тому, что в результате подбрасывания двух игральных костей на верхней грани первой кости выпала (1) и на верхней грани второй кости выпала (1).

Все элементарные исходы данного пространства  равновероятны. Таким образом, для определения вероятностей всех событий, связанных с этим опытом, можем воспользоваться классическим методом определения вероятности. Выпишем исходы, благоприятные интересующим нас событиям: A = {11, 13, 15, 31, 33, 35, 51, 53, 55}, (m = 9),

тогда P(A) =   = 0,25;

B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 61, 62, 63}, (m = 30),

P(B) =  = 0,833.

C = {46, 55, 56, 64, 65, 66}, (m = 6),

P(C) =   = 0,167.

Согласно следствию 3 из аксиом, вероятность события C можно вычислить, используя противоположное событие . Событие =B . P( ) = P(B) = 0,833.

Тогда вероятность события C: P(C) = 1 – P( ) = 1 – 0,833 = 0,167.