2.4 Некоторые наиболее важные для практики распределения случайных величин
2.4.1 Биномиальное распределение
Говорят, что дискретная случайная величина X распределена по биномиальному закону, если возможные значения этой случайной величины 0, 1, 2,…, n, а вероятность каждого из значений определяется по формуле Бернулли
, (21)
где 0 p 1; q = 1 – p; m = 0, 1, 2,…, n.
Постоянные p и n, входящие в формулу (21), называются параметрами биномиального распределения.
На практике биномиальное распределения возникает при следующих условиях: пусть производится серия из n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может осуществиться с вероятностью p. Тогда случайная величина X, определяющая число появлений события A в серии из n испытаний, распределена по биномиальному закону.
Закон называется «биномиальным» потому, что правую часть равенства (21) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:
. (22)
Ряд распределения случайной величины X, распределенной по биномиальному закону, имеет вид:
xi |
0 |
1 |
… |
k |
… |
n – 1 |
n |
pi |
qn |
npqn-1 |
… |
Cnkpkqn-k |
… |
npn-1q |
pn |
Для случайной величины, распределенной по биномиальному закону,
M[X] = np,
D[X] = npq,
. (23)
Пример 30 По каналу связи передается 5 сообщений. Каждое сообщение с вероятностью 0,1 независимо от других искажается. Случайная величина X – число искаженных сообщений. Построить ряд распределения этой случайной величины, вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение непосредственно по ряду распределения и сравнить со значениями, которые получаются при использовании формул (23). Найти вероятность того, что будет искажено не более одного сообщения.
Решение. Условие задачи соответствует проведению n = 5 независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью p = 0,1 может осуществиться событие A = {искажение передаваемого сигнала}. Случайная величина X, обозначающая число искаженных сообщений, распределена по биномиальному закону. Возможные значения этой случайной величины: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Вероятности возможных значений случайной величины определяются по формуле Бернулли:
;
;
;
;
; 
.
Ряд распределения имеет вид:
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Итого |
pi |
0,59049 |
0,32805 |
0,0729 |
0,0081 |
0,00045 |
0,00001 |
1 |
|
0 |
0,32805 |
0,1458 |
0,0243 |
0,0018 |
0,00005 |
0,5 |
|
0 |
0,32805 |
0,2916 |
0,0729 |
0,0072 |
0,00025 |
0,7 |
Убедимся, что
.
Вычислим числовые характеристики данной случайной величины:
;
[сообщений];
xmod = 0 [сообщений].
Вычислим числовые характеристики этой случайной величины по формулам (23):
M[X] = n p = 5 0,1 = 0,5; D[X] = n p q = 5 0,1 0,9 = 0,45.
Как и следовало ожидать, получены точно такие же значения.
Вероятность того, что будет искажено не более одного сообщения,
P(X 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,59049 + 0,32805 = 0,91854.