2.4. Основні положення теорії випадкових величин

Випадкова величина - величина , котра в результаті неодноразового дослідження (випробування, експерименту) може набувати того чи іншого значення, невідомо наперед, якого саме. Наприклад: геометричні розміри, характеристики міцності матеріалів, навантаження на будь-які елементи, дані випробувань механічних елементів тощо.

Уведемо позначення:

- випадкова величина (BB), х- її можливе значення; Р(х) - імовірність події чи BB є чисельна міра об'єктивної можливості події (BB).

Закон розподілення - будь-яке правило (таблиця, функція), котре дозволяє находити ймовірності подій пов'язаних із BB.

X1	X2	Х3		Xn	Значення параметрів BB
Pl	P2	Р3		Pn	Імовірності або частоти BB

Для повної групи подій BB

Функція розподілення - F(x) - описує закон розподілення BB з точки зору ймовірності (рис.2.1)

Густина (щільність)розподілення BB - f (х) - похідна її функції розподілення в точці X

(2,13)

Імовірність того, що BB потрапить у визначені границі

(2,14)

У загальному випадку - площа під кривою f(x) (рис.2.5).

2.4.1. Основні статистичні характеристики

Таблиця 2.3

№	Величини, що не перериваються	Дискретні величини
1	Математичне очікування ( середнє значення) - центр ваги площі, обмеженої кривою розподілу		(2.15)
2	Дисперсія - математичне очікування квадрату відхилення BB від , характеристика розсіювання(момент інерції відносно )		(2.16)
3	Середнє квадратичне відхилення (стандарт) - характеристика розсіювання в одиницях BB		(2.17)
4	Початкові моменти (умовні) порядку s		(2.18)
5	Центральні моменти порядку s		(2.19)

Продовження таблиці 2.3

6	Коефіцієнт варіації - характеризує ступінь випадковості	(2.20)
7	Асиметрія - визначає похилення розподілу BB	(2.21)
8	Ексцес - характеризує крутість щільності розподілу	(2.22

2.5. НОРМАЛЬНИЙ РОЗПОДІЛ BB (ЗАКОН ГАУСА)

BB розподілена за нормальним законом, якщо щільність має вигляд .

Рис. 2.5. Густина (щільність) розподілень близьких до нормального

Крива має симетричний пагорбоподібний вигляд (рис.2.5). Розподіляється від до + з асиметрією і ексцесом A_x=E_x=0 (для дослідного нормального розподілу близькими до 0), характеризується двома параметрами . При відхиленнях дослідних розподілень від нормального (табличного) для від'ємного ексцесу вниз, для від'ємної асиметрії вправо від нормального і навпаки.

Функції представлені у таблицях нормального розподілення.

Щільність нормального розподілу при (табл.1, додаток),

Функції представлені у таблицях нормального розподілення.

Щільність нормального розподілу при (табл. 1, додаток),

(2,24)

Якщо перейти до параметрів експериментальної вибірки BB

(2.25)

де n - обсяг вибірки; при використанні відносних частот n=l; h - крок (інтервал) вибірки;

- нормований аргумент нормального розподілу ( квантіль ).

Функція Лапласа (інтеграл імовірності) (додаток табл. 2)

(2.26)

Функція нормального розподілу через інтеграл імовірності

(2.27)

Завдання № 1. Статистична обробка результатів характеристик міцності

у вигляді нормального розподілу

Дано: статистичні дані випробувань міцності однієї партії обсягом n = 50. Необхідно:

1. побудувати дослідний полігон розподілення міцності;

1. обчислити статистичні характеристики: математичне очікування, стандарт, коефіцієнт варіації, асиметрію і ексцес;

2. побудувати відповідне нормальне розподілення;

2. перевірити відповідність дослідного розподілу нормальному за критерієм Пірсона;

3. розрахувати за допомогою таблиць нормального розподілу;

а) імовірність того, що дані знаходиться в межах;

б) значення даних, які відповідають 5%-й імовірності перевищення; в) діапазон можливої зміни даних і відповідні ймовірності.