Задачи для самостоятельного решения: Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля:
,
,
.
Ответ:
,
.
,
,
.
Ответ:
,
.
,
,
.
Ответ:
,
.
,
,
.
Ответ:
,
.
,
,
.
Ответ:
,
.
,
,
.
Ответ:
,
.
,
,
.
Ответ:
,
.
,
,
.
Ответ:
,
.
Метод Фурье решения смешанной задачи.
Исследуем решение простейших уравнений гиперболического и параболического типов.
А) Рассмотрим задачу решения волнового уравнения
(
(5.1)
с граничными условиями
(5.2)
при начальных условиях
(
), (5.3)
где
- непрерывные функции, заданные на
промежутке
.
Задача нахождения решения уравнения
(5.1), удовлетворяющее указанным начальным
и граничным условиям, называется
смешанной
задачей для волнового уравнения (5.1).
Будем
искать решение
уравнения (5.1) с помощью метода разделения
переменных, т.е. строим решение в виде
, (5.4)
где
функция
зависит от одной переменной x,
а функция
- зависит только от переменной t.
Подставляя в уравнение (5.1) решение, записанное в виде (5.4), получим равенство:
.
Разделяем в полученном равенстве переменные (с учетом того, что ищем не тождественно равное нулю решение):
. (5.5)
Поскольку при подстановке решения в исходное уравнение полученное равенство должно выполняться при всех значениях переменных x, t, то равенство (5.5) возможно тогда и только тогда, когда обе части его равны одной и той же постоянной, которую обозначим (‒λ). После приравнивания обеих частей равенства (5.5) указанной константе, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
Запишем
граничные условия (5.2) в терминах новых
искомых функций
и
:
.
Поскольку
при всех t,
то граничные условия для функции
примут вид:
.
В итоге получаем задачу Штурма-Лиувилля:
(5.8)
Решением
задачи (5.8) являются собственные числа
(
ℕ),
каждому из которых соответствует
собственная функция
(5.9)
Подставляя
найденные числа
в уравнение (5.7), получим линейной
однородное дифференциальное уравнение
для нахождения функций
:
,
решая которое методом Эйлера, находим
. (5.10)
В
итоге частные решения уравнения (5.1)
принимают вид
.
Идея
метода Фурье состоит в том, что общее
решение задачи (5.1) ищется в виде суммы
частных решений
:
. (5.11)
Чтобы
окончательно найти решение
остается лишь доопределить коэффициенты
и
функции
так,
чтобы решение (5.11) удовлетворяло начальным
условиям (5.3). Предварительно вычислив
частную производную
и подставив в
и в
,
с учетом (5.3) получаем:
(5.12)
Формулы
(5.12) представляют собой разложения
функций
и
в ряд Фурье по синусам в интервале
,
т.е.
(5.13)
Подставляя найденные по формулам (5.13) коэффициенты и в выражение (5.11), получаем общее решение смешанной задачи для волнового уравнения.
Пример
1.
Решить задачу о свободных колебаниях
конечной однородной струны, закрепленной
на концах
и
,
если начальное отклонение струны имеет
форму параболы с уравнением
,
а начальная скорость точек струны равна
нулю (коэффициент a
считать равным 9).
Решение:
пусть
- искомая функция, описывающая отклонение
струны от положения равновесия в точке
с координатой x
в момент времени t.
Тогда эта функция удовлетворяет волновому
уравнению (5.1), с граничными условиями
(5.2) (которые выражают закрепленность
концов струны) и начальными условиями
(5.3) (которые выражают начальную форму
и начальную скорость точек струны), где
,
,
,
.
Используя формулу (11), получим, что решение данной задачи имеет вид
. (5.14)
Для нахождения и воспользуемся системой (5.12):
.
Следовательно, используя (5.13), получим:
(n∈ℕ),
откуда
следует, что
,
а для нахождения коэффициентов
необходимо вычислить интегралы:
Подставляя найденные коэффициенты в (5.14), получаем решение
.
Ответ:
.
Пример
2. Для
струны, закрепленной на концах
и
,
найти решение волнового уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям:
;
.
Решение:
по условию задачи:
,
,
,
.
С учетом формулы (5.11) решение указанной
смешанной задачи примет вид:
. (5.15)
Поэтому из (5.13) получим систему:
(5.16)
Поскольку
система собственных функций
обладает свойством ортогональности,
то
,
если
. (5.17)
Поэтому
для всех натуральных чисел
.
При
получаем:
.
Аналогично определяем:
.
Учитывая свойство ортогональности (5.17), заметим, что
для
всех
и
для
всех
.
Следовательно,
все коэффициенты
(n∈ℕ),
кроме
и
,
равны нулю.
При
имеем:
.
При
:
.
Подставляя найденные коэффициенты в (5.15), получим
.
Ответ: .
Б) Рассмотрим задачу решения уравнения теплопроводности
(
(5.18)
с граничными условиями
(5.19)
при начальном условии
(
), (5.20)
где - непрерывные функции, заданные на промежутке . Задача нахождения решения уравнения (5.18), удовлетворяющее указанным начальным и граничным условиям (5.19) и (5.20), называется смешанной задачей для уравнения теплопроводности (5.18).
Будем искать решение уравнения (5.18) с помощью метода разделения переменных, т.е. строим решение в виде
, (5.21)
где функция зависит от одной переменной x, а функция - зависит только от переменной t.
Подставляя в уравнение (5.18) решение, записанное в виде (5.21), получим равенство:
.
Разделяем в полученном равенстве переменные (с учетом того, что ищем не тождественно равное нулю решение):
. (5.22)
Поскольку при подстановке решения в исходное уравнение полученное равенство должно выполняться при всех значениях переменных x, t, то равенство (5.22) возможно тогда и только тогда, когда обе части его равны одной и той же постоянной, которую обозначим (‒λ). После приравнивания обеих частей равенства (5.22) указанной константе, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
Запишем граничные условия (5.19) в терминах новых искомых функций и :
.
Поскольку при всех t, то граничные условия для функции примут вид:
.
В итоге получаем задачу Штурма-Лиувилля:
(5.25)
Решением задачи (5.25) являются собственные числа ( ℕ), каждому из которых соответствует собственная функция
. (5.26)
Подставляя
найденные числа
в уравнение (5.24), получим линейной
однородное дифференциальное уравнение
для нахождения функций
:
,
решая которое путем разделения переменных,
находим
. (5.27)
В итоге частные решения уравнения (5.18) принимают вид .
Идея метода Фурье состоит в том, что общее решение задачи (5.18) ищется в виде суммы частных решений :
. (5.28)
Чтобы
окончательно найти решение
остается лишь доопределить коэффициенты
функции
так,
чтобы решение (5.28) удовлетворяло
начальному условию (5.20). Подставив в
значение
,
с учетом (5.20) получаем:
(5.29)
Формула (5.29) представляет собой разложение функции в ряд Фурье по синусам в интервале , т.е.
,
(
ℕ) (5.30)
Подставляя найденные по формулам (5.20) коэффициенты в выражение (5.28), получаем общее решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности.
Замечание.
Существуют методы решения неоднородного
уравнения теплопроводности
и с ненулевыми краевыми условиями
,
,
они также основаны на рассмотренном
методе Фурье (методе разделения
переменных). Эти приемы здесь рассматривать
не будем.
Пример
3.
Найти функцию, определяющую распределение
температуры внутри стержня длины 5, на
концах которого поддерживается нулевая
температура, а начальная температура
стержня задана функцией
(коэффициент a
считать равным 2).
Решение:
пусть
- искомая функция, описывающая распределение
температуры внутри стержня в точке с
координатой x
в момент времени t.
Тогда эта функция удовлетворяет уравнению
теплопроводности (5.18), с граничными
условиями (5.19), выражающими тот факт,
что на концах стержня
и
,
и начальным условием (5.20), определяющим
начальную температуру стержня, где
,
,
.
Используя формулу (28), получим, что решение данной задачи имеет вид
(5.31)
Для нахождения воспользуемся формулами (5.30):
(n∈ℕ),
откуда:
Подставляя найденные коэффициенты в (5.31), получаем решение
.
Ответ:
.
Замечание. В зависимости от задач граничные условия ((5.2), (5.19)) могут иметь другой вид, нежели тот, который описан в пунктах А) и Б), в этом случае собственные числа и собственные функции ((5.9), (5.26)) соответствующих задач Штурма-Лиувилля ((5.8), (5.25)) будут определяться иначе, а именно:
а)
если граничные условия принимают вид
,
то соответствующая задача Штурма-Лиувилля
будет иметь решение
,
,
n∈ℕ∪{0};
б)
если граничные условия принимают вид
,
то соответствующая задача Штурма-Лиувилля
будет иметь решение
,
,
n∈ℕ∪{0};
в)
если граничные условия принимают вид
,
то соответствующая задача Штурма-Лиувилля
будет иметь решение
,
,
n∈ℕ∪{0}.
Граничные условия вида а) в случае волновых уравнений интерпретируются как подвижность обоих концов струны, а условия б) и в) означают то, что один конец струны закреплен, а другой – нет. Для уравнений теплопроводности условия типа а) означают теплоизолированность концов стержня от окружающей среды, а условия типа б) и в) означают то, что один конец стержня теплоизолирован, а другой поддерживается при нулевой температуре.
В связи с указанными изменениями общее решение соответствующих смешанных задач примет другой вид по сравнению с тем, который описан в пунктах А) и Б).