Достаточные условия сходимости ряда Фурье к исходной функции. Условия Дирихле.
Основная задача теории тригонометрических рядов. Пусть дана некоторая периодическая функция с периодом .
При каких условиях функцию можно разложить в тригонометрический ряд и при каких условиях сумма полученного ряда будет совпадать с ?
В случае возможности разложения в тригонометрический ряд, как найти коэффициенты этого разложения ?
Имеет место следующая основная теорема теории тригонометрических рядов (рядов Фурье).
Теорема Дирихле. Пусть функция , заданная на отрезке , удовлетворяет на нем следующим условиям, называемым условиями Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, а именно отрезок можно разбить на конечное число интервалов, где непрерывна и монотонна (т.е. кусочно-монотонна). Тогда ряд Фурье этой функции
, (1.1)
коэффициенты которого вычисляются по формулам 1)-3),
сходится
при всех
,
причем его сумма
:
(1)
во всех точках интервала
,
в которых
непрерывна;
(2)
в точках разрыва I
рода функции
;
(3)
на концах
.
Замечание.
Поскольку члены ряда (1.1) периодичны с
,
то в случае сходимости ряда внутри
,
можем утверждать, что он сходится при
всех
,
и сумма
периодически повторяет с периодом
те значения, которые она принимала на
.
О разложимости непериодической функции в ряд Фурье
Пусть
функция
определена на
.
Продолжим данную функцию периодически
до
− периодической функции:
,
ℤ
(в качестве периода T
выбираем число, равное длине исходного
промежутка
,
т.е.
),
причем
.
Полученную функцию раскладываем в ряд Фурье способом, описанным ранее.
Заметим,
что поскольку
− периодическая функция, то она
определяется своими значениями на любом
отрезке длиной в период Т,
в том числе и на отрезке
,
где
.
А значит
.
Аналогично
,
.
Т.к. коэффициенты Фурье вычисляются по , то мы можем получаемый тригонометрический ряд назвать рядом Фурье для . При этом равенство суммы ряда Фурье и функции выполняется на отрезке .
Замечание. В качестве периода функции можно выбрать любое число, большее , в этом случае функцию необходимо доопределить произвольным образом так, чтобы она была задана на промежутке, имеющем длину, равную выбранному периоду.
Рассмотрим несколько примеров разложения.
Пример
1.
Разложить в ряд Фурье функцию
.
Решение. График функции изображен на рисунке 1:
Рис. 1
Как
видим, данная функция кусочно-монотонная,
причем точка
- точка разрыва первого рода. Поэтому,
согласно теореме о разложении, функция
может быть представлена рядом Фурье. В
качестве периода выбираем число
.
Рассмотрим вспомогательную 2π-периодическую
функцию
,
удовлетворяющую условию
,
график которой изображен на рисунке 2:
Рис. 2
По формулам 1*-3* находим коэффициенты Фурье для функции :
;
Получаем тригонометрический ряд
,
который
будет являться рядом Фурье для функции
при
.
Поскольку
функция
претерпевает разрыв в точке
,
то построенный ряд в этой точке имеет
своей суммой число
.
В
точках
сумма данного ряда:
.
Ответ:
при .
Пример
2.
Разложить в ряд Фурье функцию
.
Решение. График функции изображен на рисунке 3:
Рис. 3
Как
видим, данная функция кусочно-монотонная,
причем точка
− точка разрыва первого рода. Поэтому,
согласно теореме о разложении, функция
может быть представлена рядом Фурье. В
качестве периода выбираем число
.
Рассмотрим вспомогательную 4-периодическую
функцию
,
удовлетворяющую условию
,
график которой изображен на рисунке 4:
Рис. 4
По формулам 1*-3* находим коэффициенты Фурье для функции :
;
Следовательно, получаем тригонометрический ряд
. (*)
Указанный ряд сходится и имеет сумму , для которой верны следующие условия:
при
;
при
;
при
.
То есть рядом Фурье функции при является ряд (*).
Ответ:
при
.