Свойства решений
1.
Если
и
− решения однородного ЛДУрЧП (3.2), то
также являются решениями этого уравнения.
2.
Если
− решение однородного ЛДУрЧП (3.2), а С
– постоянная, то
также является решением этого уравнения.
3. Если является решением линейного неоднородного дифференциального уравнения в частных производных
,
а − решением соответствующего однородного уравнения
,
то являются решениями неоднородного ЛДУрЧП.
Метод характеристик приведения к каноническому виду.
В качестве одного из возможных методов решения ЛДУрЧП рассмотрим метод упрощения дифференциального уравнения, осуществляемый с помощью перехода к новым координатам, в которых это уравнение будет иметь наиболее простой (так называемый канонический) вид. Отметим, что упрощение уравнений (3.1) и (3.2) состоит в упрощении его главной части . Опишем алгоритм приведения к каноническому виду.
С
помощью подходящего выбора новых
независимых координат
получим новое уравнение, равносильное
исходному. Для того чтобы сделать замену
переменных в исходном уравнении,
необходимо учесть то, что в новых
переменных искомая функция
,
и воспользоваться формулами:
;
;
; (3.3)
;
.
Естественно
возникает вопрос, как выбрать
и
,
чтобы уравнение в этих переменных имело
наиболее простую форму?
Теорема
1.
Пусть
есть частное решение дифференциального
уравнения I
порядка:
, (3.4)
тогда
соотношение
есть общий интеграл обыкновенного
дифференциального уравнения
. (3.5)
Теорема
2
(обратная к теореме 1). Пусть
есть общий интеграл дифференциального
уравнения
,
тогда функция
удовлетворяет уравнению (3.4).
Уравнение (3.5) называется характеристическим уравнением для уравнения (3.2), а решения уравнения (3.5) – его общие интегралы − называются характеристиками. Чтобы уравнение (3.2) приобрело канонический вид:
, (3.6)
характеристики
и
выбираются на основании теорем 1 и 2.
Т.е. полагая
и
,
где равенства
,
определяют общие интегралы уравнения
(3.5), некоторые коэффициенты уравнения
(3.6) станут равны нулю (
,
либо
,
либо
).
Классификация уравнений
В
зависимости от коэффициентов
все ЛДУрЧП делятся на 3 типа:
1)
уравнение (3.2) в точке
называется уравнением
гиперболического типа,
если
;
2) уравнение (3.2) в точке называется уравнением параболического типа, если
;
3) уравнение (3.2) в точке называется уравнением эллиптического типа, если
.
Заметим,
что после деления обеих частей (3.5) на
характеристическое
уравнение приводится к квадратному
уравнению относительно
:
. (3.7)
Тип
уравнения (3.2) определяет знак дискриминанта
,
в зависимости от которого получим три
возможные ситуации:
1)
Пусть
,
т.е. уравнение – гиперболического типа.
Поскольку в этом случае дискриминант
характеристического уравнения
,
то его решения имеют вид
,
что приводит к двум дифференциальным
уравнениям, которые позволяют определить
две действительные и различные
совокупности характеристик
.
Полагая
,
путем применения формул (3.3) уравнение
(3.2) приводится в координатах
к каноническому виду:
а)
или
б)
,
где
.
2)
Если
(параболический тип уравнения), то
дискриминант уравнения (3.7) равен нулю.
Тогда характеристическое уравнение
имеет только одно семейство характеристик
,
получаемое после решения дифференциального
уравнения
.
В данном случае полагаем
,
а в качестве
выбираем любую функцию (например,
или
),
лишь бы она была линейно независимой с
функцией
,
тогда уравнение (3.2) приводится к
каноническому виду:
.
3)
Если
(эллиптический тип уравнения), то
дискриминант уравнения (3.7) будет
отрицательным. В этом случае решения
уравнения (3.7) будут комплексными:
.
Решая указанные дифференциальные
уравнения, получим два семейства
комплексно-сопряженных характеристик:
,
где
.
Полагая
и
,
уравнение (3.2) приводим к каноническому
виду
.
Замечание.
Если в уравнении (3.2)
,
а коэффициенты A,
B,
C
– постоянные числа, то ЛДУрЧП II
порядка примет вид
.
Тогда в зависимости от типа уравнения
можно получить общее решение следующим
способом:
а) Если , то исходное уравнение является уравнением гиперболического типа и согласно методу характеристик приводится к уравнению, записанному в каноническом виде
.
Для
решения полученного уравнения введем
обозначение
,
тогда уравнение перепишется в виде
.
Откуда путем интегрирования по переменной
ξ
при
фиксированном значении переменной η
получим
(где
− произвольная функция переменной η),
т.е.
.
После повторного интегрирования по
переменной η
приходим к
(где
− произвольная функция переменной ξ).
Обозначим
,
в итоге получим
.
Возвращаясь к переменным x,
y,
заключаем, что
,
где
− уравнения характеристик.
б)
Если
(параболический тип уравнения), то по
методу характеристик
,
где
- общий интеграл характеристического
уравнения, а
− любая функция, линейно независимая
с
(например,
или
).
Канонический вид в этом случае:
.
Для
решения этого уравнения обозначим
.
Тогда
,
откуда
,
т.е.
(
− произвольная функция переменной ξ).
Интегрируя последнее равенство по
переменной η
при фиксированном значении ξ,
получим
(
− произвольная функция переменной ξ).
Если в качестве переменной
выбрана функция
,то
возвращаясь к переменным x
и y
общее решение примет вид
,
где
− произвольные функции своих аргументов.
в)
Если
(эллиптический тип уравнения), то
канонический вид в данном случае:
.
Решение уравнений такого вида здесь
приводить не будем.
Пример
1
(задача
Коши).
Решить уравнение
с начальными условиями
.
Решение:
Требуется определить функцию
,
удовлетворяющую данному уравнению и
данным начальным условиям. Здесь
.
В этом случае
,
следовательно, исходное уравнение −
гиперболического типа. Характеристическое
уравнение имеет вид:
.
Поскольку
,
то характеристическое уравнение
приводится к квадратному уравнению
относительно
:
.
Т.к.
,
то
.
В итоге получаем совокупность, приводящую к общим интегралам характеристического уравнения:
.
Перейдем
к новым координатам
,
где
.
Используя
формулы (3.3), получим
;
;
;
;
.
Подставляя полученные выражения в
исходное уравнение, получим каноническое
уравнение
.
Откуда
,
а значит
− общее решение.
Найдем
частное решение. Для этого в общее
решение подставим начальные условия.
1)
;
т.е.
;
2)
;
;
.
Подставляя найденные функции в общее
решение, приходим к решению данной
задачи Коши
.
Проверка правильности решения проводится подстановкой.
Ответ:
.
Пример
2.
(задача
Коши)
Найти
решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
Решение.
Искомая функция -
;
характеристическое уравнение имеет
вид
,
решением которого является одна
характеристика
,
в качестве второй новой переменной
выбираем функцию
.
В итоге
.
Применяя формулы (3.3), получим
;
;
;
;
.
Подстановка
указанных функций в исходное уравнение
приводит к каноническому виду
.
Решая последнее уравнение, получим
,
а, следовательно, общее решение:
.
Найдем частное решение:
;
т.е.
.
Решая
данную систему, получим
.
Следовательно, решением исходной задачи Коши является функция
.
Ответ:
.
Пример
3.
Найти
канонический вид уравнения:
.
Решение.
Исходное уравнение является ЛДУрЧП
(3.2), где
.
Тогда
.
Следовательно, данное уравнение является
уравнением гиперболического типа.
Составляем
уравнение характеристик:
,
решая которое получим
.
Интегрируя полученные уравнения,
приходим к двум семействам вещественных
характеристик:
.
Вводим новые независимые переменные
по формулам:
.
Используя формулы (3.3) замены переменных
в дифференциальном уравнении, имеем:
,
.
Подставив
найденные значения вторых производных
в рассматриваемое дифференциальное
уравнение, получим:
,
т.е. канонический вид
.
Ответ: .
Пример 4. Найти канонический вид уравнения:
.
Решение: Данное уравнение является ЛДУрЧП, где
.
Поскольку
,
исходное уравнение является уравнением
гиперболического типа.
Составим характеристическое уравнение:
,
решая
которое, получим
и
.
Интегрируя полученные уравнения, находим
два семейства действительных характеристик:
.
Введем
новые переменные по формулам:
.
Используя формулы вычисления производных
сложной функции и
по переменным х,
у
в новых переменных
(3.3), получаем:
;
;
;
;
.
Подставив полученные выражения производных функции и по переменным х, у в исходное уравнение и сгруппировав подобные слагаемые, получаем равенство:
После
преобразований приходим к уравнению:
,
т.е.
.
Учитывая, что
в силу выполненной выше замены переменных,
получаем канонический вид
.
Ответ: .
Пример 5. Найти канонический вид уравнения:
.
Решение:
Данное уравнение имеет вид ЛДУрЧП, для
которого
.
Поскольку:
,то
уравнение является уравнением
параболического типа. Составляем
характеристическое уравнение:
,
решая которое получаем
.
Следовательно,
.
Выполним
в данном уравнении замену переменных
по формулам:
(
,
т.е. эти функции действительно линейно
независимы)
Используя формулы (3.3) вычисления частных производных сложной функции, получаем:
;
;
;
.
Подставив
полученные значения производных в
исходное уравнение, приводим его к
каноническому виду:
,
т.е.
.
Ответ: .
Пример 6. Найти канонический вид уравнения:
.
Решение:
Для данного ЛДУрЧП
.
Т.к.
во всех точках, не лежащих на прямых
и
.
Следовательно, в любой области, не
содержащей точки, лежащие на прямых
и
,
исходное уравнение является уравнением
эллиптического типа. Составляем уравнение
характеристик:
,
т.е.
.
Интегрируя
полученные уравнения как уравнения с
разделяющимися переменными, получим
два семейства комплексно-сопряженных
характеристик:
и
.
Выполним
в исходном уравнении замену переменных:
.
Используя правила (3.3) вычисления частных
производных сложной функции и производя
соответствующие вычисления, из исходного
уравнения получим:
,
т.е.
.
Сокращая
обе части уравнения на
,
находим канонический вид уравнения
.
Ответ: .