Комдинаторика для программистов - В. Липский

11.Доказать, что множество всех чётных перестановок образует группу.

12.Доказать, что алгоритм 1.10 будет генерировать все перестановки (в несколь-

ко иной очерёдности), если убрать команду P [i] :=: P [m] в строке 15. Пусть f1, f2, . . . , fn! будет последовательность перестановок, полученных с помощью такого модифицированного алгоритма. Доказать, что последо-

вательность n! элементов f1−1(i), f2−1(i), . . . , fn−!1(i) является для каждого i (1 ≤ i ≤ n) одинаковой с точностью до циклического сдвига (ср. [45]).

13. Доказать, что ассимптотическое значение (для n → ∞) среднего числа транспозиций, приходящихся на каждую перестановку, полученную при

14. Доказать, что каждое из чисел 0, . . . , n! − 1 можно однозначно предста-

вить в виде j = n−1 dk k!, где 0 ≤ di ≤ i, причём последовательности

k=1

dk−1, . . . , d1, соответствующие очередным числам, появляются в лексикографическом порядке. Преложите алгоритм построения последовательности dk−1, . . . , d1 , соответствующей числу j.

15.Удалить рекурсию из алгоритма 1.11. Описать такую реализацию, в которой число шагов, необходимых для построения каждой следующей перестановки (не только среднее значение числа шагов!) ограничено констан-

той, не зависящей от n. (Указание: рассмотрим лексикографически упорядоченный список Ln всех последовательностей cn, . . . , c2 , где 1 ≤ ci ≤ i.

Доказать, что i-я транспозиция, проведённая алгоритмом 1.11, имеет вид P [B[p, cp]] :=: P [p], где p = min{i : ci < i}, а cn, . . . , c2 есть j-я последовательность в списке Ln. Дальнейшие последовательности в списке Ln мож-

но эффективно генерировать, представляя последовательность cn, . . . , c2 последовательностью c¯n, . . . , c¯2 , где c¯i = 1, если ci = i и c¯i = ci в противном случае, или же, используя буфер, фактическим содержанием которого всегда является последовательность a1, b1, a2, b2, . . . , as, bs, такая, что

s

{i : aq ≤ i ≤ bq} = {i : ci < i}

q=1

Найбольший элемент буфера определяет ранее упомянутый индекс.)

го n-элементного множества X. Использовать это тождество для вывода формулы (1.21)

26.Доказать, что произведение k произвольных последовательных натуральнх чисел делится на k!. (Указание: рассмотреть биномиальный коэффи-

циент n+k ).

k

27. Доказть, что для прозвольных натуральных чисел p, q, n

(Указание: для доказательства первого тождества подсчитайте двумя спо-

собами число всех взаимно однозначных функций f : X → P Q, где |X| = n, |P | = p, |Q| = q, P Q = . Для второго тождества найти по-

добную интерпретацию в терминах размещений, упорядоченных в p + q

29.Дать нерекурсивную версию алгоритма генерирования k-элементных подмножеств, основанную на формуле (1.25). Показать, что рекуррентная зависимость

G(n, k) = G(n − 1, k),

G(n − 2, k − 2) {n − 1, n}, G (n − 2, k) {n}

определяет также некоторый список k-элементных подмножеств, в котором соседние подмножества мало отличаются друг от друга. Дать нерекурсивный алгоритм, основанный на этой зависимости.

будем называть экспоненциальной производящей функцией для последовательности c0, c1, . . .. Пусть ck — число различных последовательностей длины k с элементами из множества Y = {y1, . . . , yn}, в которых число появлений элемента yi принадлежит множеству {mi1, mi2, . . .} (mi1 < mi2 <

. . .). Доказать, что экспоненциальная производящая функция для последовательности c0, c1, . . . есть

45.Доказать, что число бинарных последовательностей длины n, не содержащих единиц ни на каких двух соседних позициях, равно числу Фиббоначчи

Fn+1.

46.Описать метод решения возвратных уравнений вида

C0an + C1an−1 + . . . + Cr an−r = 0

(с начальными условиями, определяющими значения a0, a1, . . . , an−1) при помощи производящих функций, аналогичный методу, использованному для нахождения формулы (1.65), определяющей числа Фиббоначчи.

47.Пусть pn — число всевозможных расположений скобок в произведении x0 . . . xn (например, p2 = 2, так как имеется два способа расстановки скобок: (x0x1)x2, x0(x1x2)). Доказать, что pn равно числу Каталана cn.

48.Доказать, что число способов, которыми можно разбить плоский выпуклый (n + 2)-угольник на различные треугольники с помощью n − 1 диагоналей, не пересекающихся внутри этого (n + 2)-угольника, равно числу Каталана cn.

49.Обозначим через π(x) количество простых чисел, не превосходящих x. До-

казать, что

√

где k = π ( n)

Глава 2

Алгоритмы на графах

2.1Машинное представление графов

Очевидно, что наиболее понятный и полезный для человека способ представления графа — изображение графа на плоскости в виде точек и соединяющих их линий — будет совершенно бесполезным, если мы захотим решать с помощью ЭВМ задачи, связанные с графами. Выбор соответствующей структуры данных для представления графов имеет принципиальное влияние на эффективность алгоритмов, поэтому мы подробнее остановимся на этой проблеме. Мы покажем несколько различных способов представления и кратко разберем их основные достоинства и недостатки.

Мы будем рассматривать как ориентированные, так и неориентированные графы. Граф мы будем всегда обозначать G = V, E , где V обозначает множество вершин, а E — множество ребер1, причем E V ×V для ориентированного графа и E {{x, y} : x, y V x =y} для неориентированного графа. Будем также использовать обозначения |V | = n и |E| = m.

В теории графов классическим способом представления графа служит матрица инциденций. Это матрица A с n строками, соответствующими вершинам, и m столбцами, соответствующими ребрам. Для ориентированного графа столбец, соответствующий дуге x, y E, содержит −1 в строке, соответствующей вершине x, 1 в строке, соответствующей вершине y, и нули во всех остальных строках (петлю, т.е. дугу вида x, x , удобно представлять иным значением в строке x, например, 2). В случае неориентированного графа столбец, соответ-

1В отечественной литературе ребра ориентированного графа принято называть дугами. В дальнейшем мы будем употреблять этот термин везде, где речь идет об орграфах, используя термин «ребро» как более общий. — Прим. перев.

79

Рис. 2.1: а) ориентированный граф и его матрица инциденций; б) неориентированный граф и его матрица инциденций

ствующий ребру {x, y}, содержит 1 в строках, соответствующих x и y, и нули в остальных строках. Это проиллюстрировано на рис. 2.1. С алгоритмической точки зрения матрица инциденций является, вероятно, самым худшим способом представления графа, который только можно себе представить. Во-первых, он требует mn ячеек памяти, причем большинство этих ячеек вообще занято нулями. Неудобен также доступ к информации. Ответ на элементарные вопросы типа «существует ли дуга x, y ?», «к каким вершинам ведут ребра из x?» требует в худшем случае перебора всех столбцов матрицы, а следовательно, m шагов.

Лучшим способом представления графа является матрица смежности, определяемая как матрица B = [bij ] размера n × n, где bij = 1, если существует ребро, идущее из вершины x в вершину y, и bij = 0 в противном случае. Здесь