Комдинаторика для программистов - В. Липский

Рис. 1.9: Последовательность 4-элементных подмножеств множества {1, . . . , 6}, построенная при помощи алгоритма 1.16.

где G (n − 1, k − 1) {n} обозначает список, образованный из G(n − 1, k − 1) изменением порядка элементов списка на обратный и последующим добавлением элемента n к каждому множеству. Действительно, G(n − 1, k) содержит все k- элементные подмножества множества {1, . . . , n}, не содержащие n, G (n − 1, k − 1) {n} — все k-элементные подмножества, содержащие n, причем последним

подмножеством в списке G(n − 1, k) является {1, 2, . . . , k − 1, n − 1}, а первым подмножеством в списке G (n − 1, k − 1) {n} является {1, 2, . . . , k − 1, n}. На

рис. 1.10 показан процесс построения списка G(4, 2).

Списку G(n, k) мы можем так же, как и в случае генерирования всех подмножеств, поставить в соответствие некоторый гамильтонов путь в графе, вершины которого соответствуют двухэлементным подмножествам множества {1, 2, 3, 4}, причем вершины, соответствующие подмножествам A и B, соединены ребром тогда и только тогда, когда |A ∩ B| = k − 1 = 1. Это проиллюстрировано на рис. 1.11.

Предоставляем читателю самому избавиться от рекурсии в описанном алгоритме (см. задачу 1.29)

Рис. 1.10: Построение списка G(4, 2).

Рис. 1.11: Гамильтонов путь в графе, соответствующем всем двухэлементным подможесгвам множества {1, 2, 3, 4}.

1.8Разбиения множества

Под разбиением n-элементного множества X на k блоков будем понимать произвольное семейство π = {B1, . . . , Bk}, такое что B1 B2 . . . Bk = X, Bi ∩Bj = для 1 ≤ i < j ≤ k и Bi = для 1 ≤ i ≤ k. Подмножества B1, . . . , Bk будем называть блоками семейства π. Множество всех разбиений множества X на k блоков

будем обозначать Πk (X), а множество всех разбиений через Π(X). Очевидно, что Π(X) = Π1(X) . . . Πn(X) (более того, {Π1(X), . . . , Πn(X)} является раз-

биением множества Π(X)).

С разбиением связано понятие отношения эквивалентности. Каждому разбиению π мы можем поставить в соответствие отношение эквивалентности

B π

(элементы x, y X находятся в отношении E(π) тогда и только тогда, когда они принадлежат одному и тому же блоку разбиения π). И наоборот, каждому отношению эквивалентности E на множестве X мы можем поставить в соответствие разбиение

где x/E обозначает класс эквивалентности элемента x, т.е. множество всех элементов, находящихся в отношении E к элементу x:

Нетрудно заметить, что формулы (1.26) и (1.27) определяют взаимно однозначное соответствие между разбиениями и отношениями эквивалентности на множестве X. Если π, σ Π(X) и каждый блок B σ является суммой некоторого числа блоков разбиения π, то будем говорить, что π есть измельчение разбиения σ, и будем писать π ≤ σ. Например:

{{1}, {2, 5}, {4, 6}, {3}} ≤ {{1, 2, 3, 5}, {4, 6}}.

Легко проверить, что π ≤ σ тогда и только тогда, когда для отношений эквивалентности, соответствующих данным разбиениям, выполняется соотношение E(π) E(σ). Очевидно, что определенное таким образом отношение ≤ является частичным упорядочением на множестве Π(X). Некоторые свойства множества Π(X), упорядоченного с помощью отношения измельчения, напоминают аналогичные свойства множества Π(X), упорядоченного на основе включения. Остановимся сейчас на одном из таких свойств. Частично упорядоченное множествоA, ≤ будем называть решеткой, если для произвольных элементов x, y A существуют такие элементы а, b A, что

•(а) a ≤ x, a ≤ y и для произвольного элемента c, такого что c ≤ x, c ≤ y, имеем c ≤ a,

•(б) b ≥ x, b ≥ y и для произвольного элемента c, такого что c ≥ x, c ≥ y, имеем c ≥ b.

Такие элементы, если они существуют, однозначно определяются через x и y. Действительно, для произвольных элементов a1, a2, отвечающих условию (а), имеем a2 ≤ a1 и a1 ≤ a2, т.е. a1 = a2; аналогично доказывается (б). Элемент a будем называть нижней границей элементов x, y и обозначать x y, а элемент b будем называть верхней границей и обозначать x y.

Примером решетки является (X), . Очевидно, что в этом случае имеем

A B = A ∩ B и A B = A B.

Теорема 1.17. Множество Π(X), упорядоченное на основе отношения из-

Доказательство. Отметим прежде всего, что простым следствием определения отношения эквивалентности является тот факт, что пересечение двух отношений эквивалентности есть отношение эквивалентности. Таким образом, E(π) ∩ E(σ) есть отношение эквивалентности, которое в свою очередь однозначно определяет некоторое разбиение α, такое что E(π) ∩ E(σ) = E(α) (ср. (1.27)). Очевидно, что E(α) E(π), E(α) E(σ), а, следовательно, α ≤ π,

α ≤ σ. Более того, для каждого разбиения α , такого что α ≤ π, α ≤ σ, имеем

E(α ) E(π), E(α ) E(σ) и в результате E(α ) E(π) ∩ E(σ) = E(α) т.е.

α ≤ α. Следовательно, α = π σ, что и доказывает формулу (1.30). Отметим, что x, y E(π σ) = E(π) ∩ E(σ) тогда и только тогда, когда x и y принадлежат к одному и тому же блоку разбиения π и к одному блоку разбиения σ, т.е. x, y A ∩ B, где A π и B σ. Последнее и доказывает формулу (1.29).

Предположим теперь, что R — бинарное отношение, определенное правой частью формулы (1.31). Нетрудно проверить, что R — отношение эквивалентности. Действительно, xRx (достаточно принять k = 1), xRy влечет за собой yRx (достаточно рассмотреть последовательность xk , xk−1, . . . , x1) и xRy, yRz

влекут за собой xRz (достаточно рассмотреть конкатенацию соответствующих последовательностей). Отношение R однозначно определяет разбиение β, такое что E(β) = R. Очевидно, что E(π) R = E(β) и E(σ) R = E(β), т.е. π ≤ β и σ ≤ β. Предположим теперь, что β — произвольное разбиение, такое что π ≤ β , σ ≤ β , и пусть x, y E(β). Тогда существует последовательность x = x1, x2, . . . , xk = y, удовлетворяющая правой части формулы (1.31), и, следовательно, xi, xk+1 E(π) E(σ) E(β ), 1 ≤ i ≤ k. Вследствие транзитивности отношения E(β ) имеем x, y E(β ). Таким образом, мы доказали, что β ≤ β , а следовательно, и β = π σ.

1.9Числа Стирлинга второго и первого рода

Число Стирлинга второго рода S(n, k) определяется как число разбиений n- элементного множества на k блоков:

Например, S(4, 2) = 7, так как существуют в точности 7 разбиений множества {1, . . . , 4} на два блока:

{{1, 2, 3}, {4}} {{1, 2, 4}, {3}} {{1, 3, 4}, {2}} {{1, 2}, {3, 4}} {{1, 3}, {2, 4}} {{1, 4}, {2, 3}} {{1}, {2, 3, 4}}

Очевидно, что S(n, k) = 0 для k > n. Примем также S(0, 0) = 1, так как пустое семейство блоков является в соответствии с определением разбиением пустого множества. С числами Стирлинга второго порядка связано, как и с биномиальными коэффициентами, много любопытных тождеств. Докажем сначала тождество, напоминающее тождество (1.17), связанное с треугольником Паскаля:

Формулы (1.34) и (1.35) очевидны. Для доказательства формулы (1.33) рассмотрим множество всех разбиений множества {1, . . . , n} на k блоков. Это множество распадается на два различных класса: тех разбиений, которые содержат

Таблица 1.2: Числа Стирлинга второго рода

одноэлементный блок {n}, и тех разбиений, для которых n является элементом большего (по крайней мере двухэлементного) блока. Мощность первого класса равна S(n−1, k −1), т.е. такова, каково число разбиений множества {1, . . . , n−1} на k − 1 блоков. Мощность другого класса составляет kS(n − 1, k), так как каждому разбиению множества {1, . . . , n −1} на k блоков соответствует в этом классе в точности k разбиений, образованных добавлением элемента n поочередно к каждому блоку. Формулы (1.33), (1.34) и (1.35) позволяют легко вычислять значения S(n, k) даже для больших значений n и k. В табл. 1.2 представлены числа S(n, k) для 0 ≤ n, k ≤ 10. Отметим, что эту таблицу можно трактовать как «треугольник Стирлинга», в котором каждое значение, кроме крайних, равных единице, можно получить как сумму чисел, находящихся над ним, а именно числа, расположенного в точности над ним и умноженного на k, и числа над ним с левой стороны. Вот пример другой рекуррентной зависимости, связанной с числами Стирлинга второго рода:

−

Для доказательства тождества рассмотрим множество всех разбиений S(n, k) множества X = {1, . . . , n}. Это множество распадается на различные классы, соответствующие разным подмножествам множества X, которые являются блоками, содержащими элемент n. Отметим, что для каждого b-элементного подмножества B X, содержащего элемент n, существует в точности S(n −b, k −1) разбиений множества X на k блоков, содержащих B в качестве блока. Действительно, каждое такое разбиение однозначно соответствует разбиению множества X\B на k − 1 блоков. b-элементное множество B X, содержащее элемент n,

Число Белла Bn определяется как число всех разбиений n-элементного множества

k=0

Докажем теперь следующую простую рекуррентную зависимость, связанную с числами Белла:

(принимаем B0 = 1). Доказательство проводится аналогично доказательству тождества (1.36). Множество всех разбиений множества X = {1, . . . , n + 1} можно разбить на различные классы в зависимости от блока B, содержащего эле-

мент n + 1, или — что равнозначно — в зависимости от множества X\B. Для каждого множества X\B {1, . . . , n} существует в точности |Π(X\B)| = B|X\B|

разбиений множества X, содержащих B в качестве блока. Группируя наши классы в зависимости от мощности множества X\B, получаем формулу (1.39).

Числа Bn для 0 ≤ n ≤ 20 представлены в табл. 1.3.

Существует строгая зависимость между числами S(n, k) и числом всех функций из n-элементного множества на k-элементное множество, т.е. функций f : X → Y , f (X) = Y для |X| = n, |Y | = k. Каждой такой функции f можно поставить в соответствие следующее разбиение множества X на k блоков:

называемое ядром функции f (условие f (X) = Y дает гарантию того, что подмножества f −1(y) непустые). С другой стороны, нетрудно заметить, что каждому разбиению π Πk (X) соответствует в точности k! функций из X на Y , таких что N (f ) = π. Каждая такая функция взаимно однозначно соответствует соотнесению блоков разбиения π элементам множества Y . Обозначая через sn,k число функций из X на Y , получаем, следовательно,

Таблица 1.4: Числа Стирлинга первого рода

для произвольного целого числа x ≥ 0, эти многочлены тождественно равны (так как их разность либо является тождественно равной нулю, либо имеет бесконечное число нулей).

Числа Стирлинга первого рода s(n, k) определяются как коэффициенты при последовательных степенях переменной x в многочлене [x]k :

k=0

Другими словами, числа s(n, k) играют обратную роль в отношении к числам S(n, k) — позволяют перейти от базиса 1, [x]1, [x]2, . . . к базису 1, x, x2, . . ..

Очевидно, что s(n, k) = 0 для k > n. Числа s(n, k) удобно вычислять, пользуясь следующими рекуррентными зависимостями:

Формулы (1.47) и (1.48) очевидны, формулу (1.46) получаем, сравнивая коэффициенты при xk с обеих частей равенства

В табл. 1.4 представлены числа s(n, k) для 0 ≤ n, k ≤ 10.

1.10Генерирование разбиений множества

Опишем теперь алгоритм генерирования всех разбиений множества. Идею этого алгоритма легче всего объяснить, сформулировав его в рекуррентной форме. Отметим сначала, что каждое разбиение π множества {1, . . . , n} однозначно определяет разбиение πn−1 множества {1, . . . , n − 1}, возникшее из π после удаления элемента n из соответствующего блока (и удаления образовавшегося пустого блока, если элемент n образовывал одноэлементный блок). Напротив, если дано разбиение σ = {B1, . . . , Bk} множества {1, . . . , n − 1}, легко найти все разбиения π множества {1, . . . , n}, такие что πn−1 = σ, т.е. следующие разбиения:

B1 {n}, B2, . . . , Bk B1, B2 {n}, . . . , Bk

. . . . . . . . . . . . . . . (1.50) B1, B2, . . . , Bk {n}

B1, B2, . . . , Bk , {n}

Это подсказывает следующий простой рекуррентный метод генерирования всех разбиений: если нам дан список Ln−1 всех разбиений множества {1, . . . , n − 1}, то список Ln всех разбиений множества {1, . . . , n} будем создавать, заменяя каждое разбиение σ в списке Ln−1 на соответствующую ему последовательность (1.50). Отметим, что при этом мы можем гарантировать, что разбиения, идущие друг за другом, будут мало отличаться друг от друга, точнее говоря, мы можем принять, что каждое следующее разбиение в списке образуется из предыдущего посредством удаления некоторого элемента из некоторого блока (это может повлечь за собой удаление одноэлементного блока) и добавления его в другой