Комдинаторика для программистов - В. Липский

наступает важный момент: в XN ищется вершина r с минимальным потенциалом p = П(r) (строки 38–41). Затем мы находим в нашей бесконтурной сети поток из r в t величины p (строки 42–65) и поток из s в r величины p (строки 66–91); в сумме это дает поток из s в t величины p. Опишем первую часть — поток из r в t; вторая часть полностью аналогична. Наш поток будет использовать только согласованные во вспомогательной бесконтурной сети допустимые дуги, а метод этого вычисления интуитивно лучше всего объяснить следующим образом. Представим себе, что в вершине r мы поместили «груз» величины Q[r] = p и хотим этот груз «протолкнуть» до стока t так, чтобы количество груза, перемещаемое по любой дуге, не превышало ее пропускной способности. Для этого мы ведем в нашей сети поиск в ширину, начиная с вершины r. Как обычно при поиске в ширину достигнутые, но еще не использованные вершины запоминаются в очереди. Каждая вершина u, выбираемая из очереди (строка 43) и не являющаяся стоком, «разгружается» (строки 49–64). Это заключается в перенесении груза Q[v] в вершины u, к которым ведут дуги из v. Этот груз переносится в несколько первых вершин в списке XЗАПИСЬ[v], причем груз, перенесенный в каждую такую вершину, за исключением, может быть, последней, равен пропускной способности XC[v, u]. Таким же способом на всех использованных дугах v, u , за исключением, может быть, последней, устанавливается поток XF [v, u] = XC[u, v], и эти «насыщенные» дуги мы можем устранить из сети (строки 57–60; вспомним, что мы ищем псевдомаксимальный поток, следовательно, можно ограничиться согласованными допустимыми дугами вспомогательной бесконтурной сети). Устранение дуг сопровождается соответствующим уменьшением потенциалов (строки 44–46). Вершины сети посещаются согласно схеме поиска в ширину, а следовательно, если d = ДЛИНА[r], весь груз из вершины r переносится в вершины, находящиеся на расстоянии d + 1 от s, и далее в вершины, находящиеся на расстоянии d + 2 от s и т.д., пока весь груз не достигнет стока t. Отметим, что груз, достигающий каждой вершины u, не превышает p, и эту вершину мы можем разгрузить (если v =t), так как p, будучи равным минимальному потенциалу, несомненно не превышает выходного потенциала вершины v. После построения аналогичным способом потока величины p из s в r закончена первая итерация главного цикла (строка 15), состоящая в удалении вершин с нулевым потенциалом и в увеличении потока на величину минимального в данный момент потенциала. Дальнейшие итерации следуют вплоть до момента, когда уже нет вершин с ненулевым потенциалом (т.е. XN = ). Очевидно, что найденный тогда в нашей сети поток является псевдомаксимальным.

1.procedure M AXP SA; (*построение псевдомаксимального потока во вспомогательной бесконтурной сети методом Малхотри, Кумара и Махешвари;

переменные XV , XC, XF , XПРЕДШ, XЗАПИСЬ, s, r — глобальные *)

2.begin

3.СТЕК := ; (*СТЕК будет содержать вершины с нулевым потенциалом*)

4.for v XV do (*определение потенциала вершины v*)

5.begin ПBX[v] := 0; ПВЫХ[v] := 0;

6.if v = s then ПВХ[u] := ∞

7. else for u ХПРЕДШ[v] do

ПВХ[v] := ПВХ[v] + XC[u, v];

8.if v = t then ПВЫХ[v] := ∞

9. else for u ХЗАПИСЬ[v] do

ПВЫХ[u] := ПВЫХ[v] + XC[v, u];

10.П[v] := min(ПВХ[v], ПВЫХ[v]);

11.if П[v] = 0 then CT EK v

12.end;

13.for v XV do Q[v] := 0; (*инициализация грузов в вершинах*)

14.XN := XV ;

(*XN будет содержать вершины с ненулевым потенциалом*)

15.while XN = do (* главный цикл *)

16.begin (* удаление вершин с нулевым потенциалом*)

17.while СТЕК = do

18.begin v СТЕК; XN := XN \{v};

(*удаление дуг, входящих в v*)

19.for u ХПРЕДШ[v] do (*удаление дуги u, v *)

(*удаление дуг, исходящих из v*)

27.for u ХЗАПИСЬ[v] do (*удаление дуги v, u *)

35.end;

(*XN является множеством вершин с ненулевым потенциалом*)

36.if XN = then (*поток еще не является максимальным*)

37.begin

39.for v V N do if П[v] < p then

7.for u XV do(*XV =множество вершин вспомогательной сети*)

8.for v XV do

15.end (*конец фазы*)

16.until ДЛИНА[t] = ∞ (*поток F — максимальный*)

17.end

Исходя из проведенного уже анализа процедур P SA и M AXP SA, а также из того, что число фаз не превышает n (см. следствие 4.5), получаем

Следствие 4.7. Алгоритм 4.6 правильно строит максимальный поток за время O(n3).

Отметим, что анализом этого алгоритма мы доказали существование максимального потока в произвольной сети и тем самым предоставили недостающий фрагмент для доказательства фундаментальной теоремы о максимальном потоке и минимальном разрезе (теорема 4.2).

Стоит отметить, что алгоритм 4.6 не подходит непосредственно под схему последовательного увеличения потока вдоль увеличивающих цепей, однако метод, использованный в этом алгоритме, можно считать обобщением методики увеличивающих цепей. Увеличение потока (на значение, равное минимальному потенциалу) происходит вдоль несколько более общей структуры, чем единичная увеличивающая цепь от s до t. Эту структуру можно было бы назвать «кратной увеличивающей цепью» от s до t, проходящей через вершину r (с минимальным потенциалом). Использование такой кратной цепи приводит к удалению из сети хотя бы одной вершины, а не одной дуги, как в случае единичной увеличивающей цепи — отсюда меньшее число итераций и тем самым лучшая оценка сложности алгоритма.

В заключение сформулируем следующее очевидное, но важное свойство алгоритма 4.6.

Теорема 4.7. Если все пропускные способности дуг являются целыми числами, то максимальный поток f , построенный алгоритмом 4.6 — целочисленный, т.е. f (e) является целым числом для каждой дуги e.

4.3Найбольшие паросочетания в двудольных графах

Паросочетанием в неориентированном графе G = V, E называется произвольное множество ребер M E, такое что никакие два ребра из M не инцидентны одной вершине. Другими словами, M есть паросочетание, если для каждых двух ребер e1, e2 M имеем либо e1 = e2, либо e1 ∩ e2 = . Для каждого ребраu, v M мы говорим, что M сочетает u с v, а каждую вершину, не принадлежащую ни одному ребру паросочетания, будем называть свободной. Особенно интересны задачи, связанные с паросочетаниями в двудольных графах, т.е. в неориентированных графах G = V, E , таких что множества их вершин можно разбить на непересекающиеся множества V = X Y , X ∩Y = , причем каждое ребро e E имеет вид e = x, y , где x X, y Y (см. задачу 4.15). Двудольный граф будем обозначать X, Y, E (это обозначение предполагает фиксацию некоторого разбиения множества вершин на множества X и Y — оно не определяется однозначно через множества V и E).

В этом разделе мы займемся задачей нахождения наибольшего паросочетания в заданном двудольном графе. Это классическая задача комбинаторики, известная также под названием «задачи о супружеских парах». Такое название связано со следующей интерпретацией. Пусть X и Y — соответственно множества юношей и девушек, и пусть x, y E означает, что юноша x знаком с девушкой y. Тогда каждое паросочетание M соответствует возможному множеству супружеских пар, в котором каждая пара образована из юноши и девушки, знакомых между собой, причем каждый человек участвует не более чем в одной паре.

Оказывается, что задачу нахождения наибольшего паросочетания в двудольном графе можно простым способом свести к построению максимального потока в некоторой сети. Пусть H = X, Y, E — произвольный двудольный граф. Построим сеть S(H) с источником s, стоком t (s =t и s, t / X Y ), множеством

вершин

V = {s, t} X Y,

множеством дуг

E = {s, x : x X} {y, t : y Y } {x, y : x X y Y x, y E}

и пропускной способностью c(u, v) = 1 для каждой дуги u, v E .

На рис. 4.3 показано построение сети S(H) для некоторого двудольного графа.

Отметим, что согласно теореме 4.7 в S(H) существует максимальный нульединичный поток, т.е. максимальный поток f , такой что f (e) = 0 или f (e) = 1 для каждой дуги e E .

Теорема 4.8 позволяет использовать произвольный алгоритм построения максимального потока (целочисленного) для определения максимального паросочетания. Используя алгоритм 4.6, мы находим наибольшее паросочетание за O(n3) шагов. Оказывается, однако, что особая форма сети S(H) позволяет построить более эффективный алгоритм. Этот алгоритм, авторами которого являются Хопкрофт и Карп [33], использует общую схему Диница, т.е. состоит из фаз, соответствующих увеличению потока вдоль кратчайших увеличивающихся цепей определенной длины. Особый вид сети позволяет, однако, как ограничить число фаз, так и построить более эффективный алгоритм построения псевдомаксимального потока в каждой фазе.

Отметим сначала, что каждая увеличивающая цепь в S(H) будет нечетной длины и будет состоять после отбрасывания первой и последней дуг из последовательности попеременно чередующихся согласованных и несогласованных дуг (начинающейся и заканчивающейся согласованной дугой). Для данного паросочетания M мы будем называть чередующейся цепью (длины l = 2k + 1 из X в Y ) относительно M произвольное множество дуг P E вида

где k > 0, все вершины x0, . . . , xk , y1, . . . , yk+1 различны, x0 — свободная вершина в X, yk+1 — свободная вершина в Y , каждая вторая дуга принадлежит M , т.е.

P ∩ M = {{y1, x1}, {y2, x2}, . . . , {yk, xk }}

Очевидно, что чередующуюся цепь можно однозначно определить последовательностью x0, y1, x1, y2,. . . , yk , xk , yk+1. Разумеется, что при описанном в теореме 4.8 соответствии между паросочетаниями в H и нуль-единичными потоками в сети S(H) чередующаяся цепь (4.13) естественным образом соответствует некоторой увеличивающей цепи относительно потока fM в S(H), а именно цепи

s, s, x0 , x0, x0, y1 , y1, y1, x1 , x1, x1, y2 , y2, . . . , yk , yk, xk , xk , xk , yk+1 , yk+1, yk+1, t , t,

причем увеличение потока fM вдоль этой цепи дает поток, соответствующий паросочетанию, определенному симметрической разностью M P . Это проиллюстрировано на рис. 4.4.

Из приведенных выше рассуждений непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема 4.9. (Берж). Паросочетание M в двудольном графе H наибольшее тогда и только тогда, когда в H не существует чередующейся цепи относительно M .