Комдинаторика для программистов - В. Липский

Предположим, что некий предприниматель принял на работу n человек, причем i-й сотрудник имеет квалификацию, позволяющую выполнять любую работу из некоторого множества Ai.

n

Обозначим Ai = E = {e1, . . . , em} и предположим, что прибыль предпри-

i=1

нимателя от выполнения работы ej составляет w(ej ) и что каждый из принятых на работу может выполнять не более одной работы. Нужно найти такое соответствие работ и людей, могущих их выполнять, чтобы прибыль была наибольшей. На языке матроидов задача заключается в нахождении базиса с наибольшим весом матроида трансверсалей M (A), где A = (A1, . . . , An). Точнее, нужно не только найти частичную трансверсаль S с наибольшим весом, но также и взаимно однозначную функцию ϕ : S → {1, . . . , n}, для которой e Aϕ(e), e S. Именно это и делает алгоритм 5.14.

Стоит отметить здесь, что, так же как и во всех жадных алгоритмах, представленных в данной главе, база с наименьшим (наибольшим) весом зависит только от упорядочения элементов e1, . . . , em по неубыванию весов. Обозначим через ei ≤ ej тот факт, что w(ei) ≤ w(ej ) («работа ej оплачивается не меньше, чем работа ei»). Мы знаем, что множество работ S = {a1, . . . , ak } (где a1 ≥ . . . ≥ ak) является оптимальным по Гейлу, а следовательно, для каждого другого множества работ T = {b1, . . . , bi} (где b1 ≥ . . . ≥ bi), которое может быть выполнено нанятыми на работу, имеем l ≤ k и bi ≤ ai для 1 ≤ i ≤ l.

Второй пример касается нахождения оптимальной очередности выполнения работ. Предположим, что дано n работ e1, . . . , em, причем выполнение каждой из них требует одного и того же количества времени, скажем одного часа. Работы мы выполняем по очереди, не прерывая ни одной начатой работы, причем в каждый момент времени может выполняться не более одной работы. Для каждого i, 1 ≤ i ≤ m, дан также срок di выполнения работы ei (отсчитываемый от нулевого момента) и штраф w(ei), который выплачивается за невыполнение задания в срок (предполагаем, что штраф не зависит от того, на сколько часов был превышен срок). Нужно найти очередность выполнения работ, минимизирующую сумму штрафов. Эту же задачу мы можем сформулировать как нахождение выполнимого в срок множества работ с найбольшей суммой штрафов (тут мы максимизируем сумму штрафов, «которых избежали»). При этом нужно найти также очередность выполнения работ из этого оптималь-

ного множества. Связь этой задачи с матроидами трансверсалей следующая. Определим E = {e1, . . . , em}, n = max di и Ai = {ej E : dj ≥ i} для

1 ≤ i ≤ n. При таких обозначениях произвольная частичная трансверсаль S семейства A = (A1, . . . , An) определяет выполнимое в срок множество работ, причем взаимно однозначная функция ϕ : S → {1, . . . , n}, такая что e Aϕ(e), e S, определяет для каждой работы e S время ϕ(e), в которое эта работа

должна быть выполнена. Следовательно, оптимальное решение S является базисом с наибольшим весом матроида трансверсалей M (A) и его можно найти, используя алгоритм 5.14.

5.7Задачи

5.1. Доказать, что семейство B (E) является базой некоторого (однозначно определенного семейством B) матроида тогда и только тогда, когда выполняется условие

•B1 Для произвольных B1, B2 B и e B1\B2 существует f B2\B1, такое что (B1\{е}) {f } B.

5.2.Для следующих понятий, связанных с матроидами:

•(а) семейство I независимых множеств матроида,

•(б) семейство B баз матроида,

•(в) семейство C циклов матроида,

•(г) семейство F подпространств матроида,

•(д) функция ранга r,

•(е) операция порождения подпространства sp

выразить каждое из них в терминах каждого из оставшихся.

5.3.Доказать, что семейство C (E) является семейством циклов некоторого матроида тогда и только тогда, когда удовлетворяются условия C1 и C2.

5.4.Доказать, что операция sp : (E) → (E) является операцией порождения подпространства в некотором матроиде тогда и только тогда, когда выполняются условия S1, S2, S3, S4.

5.5.Доказать, что функция r является функцией ранга в некотором матроиде тогда и только тогда, когда выполняются условия Rl, R2, R3 (или Rl, R4, R5).

5.6.Доказать, что если элемент принадлежит каждой базе матроида, то он не принадлежит ни одному циклу этого матроида.

5.7.Проверить, что для произвольного конечного множества E и произвольного k ≤ |E| пара M = E, I , где I = {A E : |A|k } является матроидом. Определить для этого матроида понятия (а)–(е) из задачи 5.2.

5.8.Доказать, что в произвольном матроиде e sp(A) тогда и только тогда, когда существует цикл C, такой что C\A = {е}.

5.9.Доказать, что если C1 и C2 — два произвольных различных цикла мат-

роида и f C1\C2, то для каждого е C1 ∩ C2 найдется такой цикл C3, что f C3 (C1 C2)\{e}.

5.10. Доказать, что если B — семейство баз матроида M = E, I , то B = {E\B : B B} — семейство баз некоторого матроида M (M называется

матроидом, двойственным M ). Доказать, что функция ранга двойственного матроида выражается формулой r (A) = |A| + r(E\A) − r(E).

5.11. Доказать, что для произвольного матроида M = E, I и произвольного

множества S E пара S, I , где I = {A I : A S}, является матроидом. Всегда ли будет матроидом S, I , где I = {S ∩ A : A I}?

5.12. Применить алгоритм 5.11 к матрице

(столбцы упорядочены по неубыванию весов).

5.13. Доказать, что при описанной в разд. 5.5 реализации алгоритма Крас-

кала высота дерева, представляющего произвольный блок B разбиения РАЗБ, не превышает log |B|.

5.14.Доказать, что каждый матроид разбиения является частным случаем матроида трансверсалей.

5.15.Доказать, что если существует система различных представителей дляA1, . . . , An и x1, . . . , xk является системой различных представителей дляA1, . . . , Ak (k < n), то существует элемент xk+1 и перестановка f множества

{1, . . . , k + 1}, такая что xf (1), . . . , xf (k+1) является системой различных представителей для A1, . . . , Ak + 1 .

Холл Ф., 156 Хопкрофт Дж., 149

хорда, 89

цепь, 164 цепь

симметричная, 164 чередующаяся, 149

цикл , 8, 92 гамильтонов, 102

де Брёйна порядка n, 111 матроида, 179 разложения перестановки, 15 эйлеров, 99 элементарный, 8

число Белла, 47

Стирлинга второго рода, 45, 49 Фибоначчи, 63

шаг алгоритма, 10

Эгервари Э., 159 Эдмондс Дж., 135, 181

экспоненциальная производящая функция, 77

элемент зависимый от множества, 178

ядро функции, 47

3.1Начальные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.2Кратчайшие пути от фиксированной вершины . . . . . . . . . . . 114

3.3 Случай неотрицательных весов — алгоритм Дейкстры . . . . . . 116

3.4Пути в бесконтурном орграфе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.5Кратчайшие пути между всеми парами вершин, транз. замыкание

4.1Максимальный поток в сети . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.2Алгоритм построения максимального потока . . . . . . . . . . . . 134

4.3Найбольшие паросочетания в двудольных графах . . . . . . . . . 147

4.4Системы различных представителей . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.5Разложение на цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

5.1Жадный алгоритм решения оптимизационных задач . . . . . . . 174

5.2Матроиды и их основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.3Теорема Рамо-Эдмондса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5.4Матричные матроиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5.5 Графовые матроиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

5.6Матроиды трансверсалей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.7 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192