Комдинаторика для программистов - В. Липский

Принимая A = V \{t}, получаем в этом частном случае из леммы 4.1

Divf (s) = W (f ) = f (V \{t}, {t}) − f ({t}, V \{t}) =

=− (f (V \{t}, {t}) − f ({t}, V \{t})) = − Divf (f ),

что выражает интуитивно понятный факт: в сток входит в точности такое количество потока, какое выходит из источника. В общем виде лемма 4.1 говорит, что общее количество потока можно измерить в произвольном разрезе, отделяющем s от t.

Определим пропускную способность разреза P (A) следующим образом:

Под минимальным разрезом, разделяющим s и t, мы будем понимать произвольный разрез P (A), s A, t V \A с минимальной пропускной способностью.

Одним из фундаментальных фактов теории потоков в сетях является классическая теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе.

Теорема 4.2 (Форд и Фалкерсон [23]). Величина каждого потока из s в t не превосходит пропускной способности минимального разреза, разделяющего s и t, причем существует поток, достигающий этого значения.

Доказательство. Пусть P (A) — минимальный разрез. В силу леммы 4.1 для произвольного потока f имеем

P

Существование потока, для которого указанное неравенство переходит в равенство (такой поток, очевидно, максимален),— более глубокий факт. Мы получаем его как следствие анализа алгоритма, представленного в следующем разделе.

Все известные алгоритмы построения максимального потока основываются на последовательном увеличении потока, причем модификация потока, увеличивающая его величину, чаще всего опирается на метод увеличивающих цепей.

Будем говорить, что дуга e сети S является допустимой дугой из u в v относительно потока f , если

В зависимости от того, какое из приведенных условий имеет место, первое или второе, будем говорить соответственно о согласованной или несогласованной допустимой дуге из u в v. Увеличивающей цепью (длины l) для данного потока f из s в t называется произвольная знакопеременная последовательность (попарно различных) вершин и дуг

такая что v0 = s, vl = t, и для каждого i ≤ l дуга ei допустима из vi−1 в vi относительно потока f . Знание увеличивающей цепи вида (4.8) позволяет легко увеличить величину потока f на

δ = min {∆(ei) : 1 ≤ i ≤ l} ,

где

Для этого достаточно увеличить на δ поток по каждой согласованной дуге

ei:

f (ei) = f (ei) + δ,

а также уменьшить на δ поток по каждой несогласованной дуге ei:

f (ei) = f (ei) − δ.

Определенная таким образом функция f (мы полагаем f (e) = f (e) для дуг e, не принадлежащих цепи (4.8)) является потоком. Действительно, изменение величины Divf (vi), 1 ≤ i ≤ l −1, основывается на ее увеличении на δ, связанном с изменением потока по ei+1, и уменьшении ее на δ, связанном с изменением

потока по ei — это не зависит от типа дуги ei, ei+1. В сумме эти изменения компенсируются и в результате Divf (vi) = Divf (vi) = 0 (1 ≤ i ≤ l − 1). Выпол-

няется также условие 0 ≤ f (e) ≤ c(e) для каждой дуги e. Величина же потока увеличивается на δ:

W (f ) = Divf (s) = Divf (s) + δ = W (f ) + δ.

На рис. 4.1 показан процесс увеличения потока вдоль увеличивающейся цепи. Поток f (e) по каждой дуге e указан возле соответствующих дуг, в скобках указана пропускная способность дуг c(e). Увеличивающая цепь имеет вид

v1, v1, v3 , v3, v2, v3 , v2, v5, v2 , v5, v5, v6 , v6, v7, v6 , v7, v7, v8 , v8,

что дает увеличение потока на δ = ∆(v4, v5) = 1 с 10 до 11.

Теорема 4.3. Следующие три условия эквивалентны:

Рис. 4.1: Увеличение потока вдоль увеличивающей цепи: а) перед модификацией, б) после модификации.

•(а) Поток из s в t максимален.

•(б) Не существует увеличивающей цепи для f .

•(в) W (f ) = c(A, V \A) для некоторого A V , такого что s A, t / A.

Доказательство. (а) (б). Если поток максимален, то очевидно, что для него не существует увеличивающей цепи, ибо существование такой цепи делало бы возможным увеличение потока.

(б) (в) Предположим, что для некоторого потока f не существует увеличивающей цепи. Определим множество A V как множество вершин v, для которых существует цепь

v0, e1, v1, e2, v2, . . . , vk − 1, ek, vk

такая что k ≥ 0, v0 = s, vk = v и ei — дуга, допустимая из vi−1 в vi, 1 ≤ i ≤ k. Очевидно, что s A, a t / A, поскольку это означало бы существование увеличивающей цепи для f . Рассмотрим разрез P (A). Для каждой дуги e P (A)

должно выполнятьться равенство f (e) = c(e) согласно определению множества A (см. условие (4.6)), таким образом, f (A, V \A) = c(A, V \A). Пользуясь определением множества A, аналогичным образом получаем f (V \A, A) = 0 (см. условие (4.7)). В силу леммы 4.1 отсюда вытекает, что

w(f ) = f (A, V \A) − f (V \A, A) = c(A, V \A).

(в) (а) следует из уже доказанного факта, что величина произвольного потока не превосходит c(A, V \A) (см. (4.5)).

Нетрудно проверить, что поток на рис. 4.1, б — максимальный. «Насыщенный» разрез P (A), появляющийся в доказательстве теоремы 4.3, обозначен через A = {v1, v2, v3, v5}. Для того чтобы из теоремы 4.3 вывести теорему о максимальном потоке и минимальном разрезе, нам еще не хватает одной, довольно тонкой детали. (Прежде чем читать дальше, предлагаем читателю догадаться, какой именно.) Этим недостающим фактом является просто существование максимального потока в произвольной сети. Другими словами, нужно показать, что невозможна ситуация, в которой, например, для каждого ε > 0 существует поток с величиной, превосходящей 7 − ε, но не существует потока с величиной, равной 7 (стоит отметить, что подобной проблемы для минимального разреза не существует — число различных разрезов в отличие от числа различных потоков является конечным). Этот простой факт, являющийся в сущности следствием нестрогости неравенства в условии (4.2), можно доказать многими способами. Мы докажем его в следующем разделе путем анализа некоторого алгоритма построения максимального потока.

4.2Алгоритм построения максимального потока

Рассуждения предыдущего раздела подсказывают идею следующего простого алгоритма построения максимального потока. Начиная с произвольного потока (например, f (e) = 0 для каждой дуги e E), мы ищем увеличивающие цепи и увеличиваем вдоль них фактический поток.

Однако здесь возникают два вопроса. Во-первых, закончится ли работа такого алгоритма через конечное число шагов и, во-вторых, будет ли полученный поток максимальным. Ответ на второй вопрос в предположении, что алгоритм остановится через конечное число шагов из-за невозможности отыскать новые увеличивающие цепи, будет утвердительным, что непосредственно следует из теоремы 4.3. С другой стороны, Форд и Фалкерсон в работе [23] дали в некотором смысле отрицательный ответ на первый вопрос. А именно, они привели пример сети, в которой можно так «злоумышленно» подбирать очередные рассматриваемые увеличивающие цеци, что процесс никогда не кончится; более

того, величина потока в течение всего времени будет меньше одной четверти величины максимального потока.

Эдмондс и Карп (см. [17]) показали, что если мы увеличиваем фактический поток всегда вдоль кратчайшей увеличивающей цепи, то максимальный поток строится с использованием не более mn/2 цепей (как обычно, n = |V |) и m = |E|). Отыскание кратчайшей цепи легко реализовать при помощи алгоритма, аналогичного поиску в ширину (см. разд. 2.3). Точнее говоря, начиная от источника s, мы ведем поиск в ширину в графе Gf , состоящем из дуг u, v , таких что в нашей сети существует дуга, допустимая от u до v относительного фактического потока f , вплоть до момента достижения стока t. Очевидно, что найденный в результате этого процесса кратчайший путь из s в t соответствует кратчайшей увеличивающей цепи из s в t в исходной сети. Принимая во внимание, что процесс поиска в ширину мы можем выполнить за время O(m + n), мы можем оценить сложность всего алгоритма построения максимального потока как O(mn(m + n)). Не будем заниматься здесь деталями этого алгоритма, так как ниже в данном параграфе мы представим более эффективный метод, имеющий сложность O(n2). Любопытный метод использовал для построения максимального потока Диниц в работе [13]. Этот метод основан на построении некоторой вспомогательной бесконтурной сети (т.е. с графом, не содержащим контуров), структура которой точно отображает все кратчайшие увеличивающие цепи из s в t относительно фактического потока f . Обозначим такую сеть через Sf . Мы строим ее при помощи поиска в ширину в уже упомянутом графе Gf с дугами, определяемыми допустимыми относительно фактического потока f дугами в исходной сети. Сеть Sf содержит источник s, сток t и дуги графа Gf вида v, u , где u находится на расстоянии d, a v на расстоянии d + 1 от s, 0 ≤ d ≤ l, где l есть длина сети Sf , т.е. расстояние от s до t в графе Gf . Пропускную способность cf (u, v) мы определяем как c(u, v) − f (u, v) или как f (v, u) в зависимости от того, представляет ли дуга u, v согласованную дугу или нет (или сумму этих значений), если одновременно существуют согласованная и несогласованная дуги, допустимые от u к v.

Ниже представлена процедура P SA, строящая сеть Sf . Исходная сеть S представлена списками инцидентности ЗАПИСЬ[v], ПРЕДШ[v], v V , и массивом пропускных способностей дуг C[u, v], u, v V , а фактический поток f определяется массивом F [u, v], u, v V . Переменные, относящиеся к построенной вспомогательной сети Sf , отличаются от переменных, относящихся к исходной сети S, первой буквой X: имеем множество вершин XV , списки инцидентности XЗАПИСЬ[v], XПРЕДШ[v], x XV , и массивы пропускных способностей XC и потоков XF . Расстояние до вершины от источника в сети Sf запоминается в массиве ДЛИНА. Структура процедуры P SA следующая: за инициализацией в строках 3–7 следует поиск в ширину в графе Gf , начиная от источника

Рис. 4.2: а) Сеть S и максимальный поток в этой сети; б), в), г) Вспомогательные бесконтурные сети, соответствующие последовательным фазам алгоритма Диница с псевдомаксимальными потоками в каждой из них.

существует дуга vi, vi+1 , 0 ≤ i < l, такая что f (vi, vi+1) = cf (vi, vi+1). Псевдомаксимальный поток затем «переносится» из вспомогательной сети в первоначальную сеть: поток f (u, v) складывается с f (u, v), а если это вызывает переполнение дуги, т.е. превышение потока над пропускной способностью дуги c(u, v), то этот «избыток» ликвидируется соответствующим уменьшением по-

тока f (v, u) (таким образом, результатом нашей модификации всегда является увеличение Divf (u) на f (u, v) и уменьшение Divf (v) на f (u, v)). Нетрудно про-

верить, что такая модификация потока, проведенная для всех дуг u, v вспомогательной сети, определяет некоторый новый поток f , такой что W (f ) = W (f ) + W (f ). Фазу считаем законченной. Метод Диница основывается на выполнении последовательных фаз, начиная с нулевого потока, вплоть до момента, пока поток в нашей сети не станет максимальным.

Это показано на рис. 4.2 (как обычно, при каждой дуге указаны поток по этой дуге и в скобках ее пропускная способность). Начиная с нулевого потока f0 в сети S, мы получаем вспомогательную бесконтурную сеть Sf (рис. 4.2, б). Мы находим в ней псевдомаксимальный поток (метод эффективного построения такого потока будет разобран далее) и переносим его в сеть S, получая поток f1.

Затем мы строим сеть Sf1 (рис. 4.2, в) и найденный в ней псевдомаксимальный поток переносим в сеть S, что дает поток f2. В последней фазе мы строим

сеть Sf2 (рис. 4.2, г). После перенесения псевдомаксимального потока из Sf2 в S получаем в S поток f (показанный на рис. 4.2, а), который является максимальным, ибо W (f ) = 4 = c({s}, V \{s}) (см. теорему 4.3). Рис. 4.2, в хорошо иллюстрирует тот факт, что псевдомаксимальный поток не должен быть максимальным. Действительно, псевдомаксимальный поток, показанный на этом рисунке, мы можем увеличить вдоль следующей увеличивающей цепи длины 5:

v1, v1, v5 , v5, v5, v4 , v4, v3, v4 , v3, v3, v6 , v6, v6, v7 , v7

Отметим еще, что дуга v4, v3 сети Sf2 (рис. 4.2, г) возникла из двух противоположно направленных дуг сети S.

Метод Диница эффективен в основном из-за того, что независимо от пропускной способности дуг число фаз не превышает n. Для доказательства этого факта обозначим через Sk вспомогательную бесконтурную сеть, построенную в k-й фазе, а через lk — длину этой сети. (Внимание: последний вызов процедуры P SA, в котором не достигается сток, за фазу не считается.)

Лемма 4.4. Если число фаз превышает k, то lk < lk+1

Доказательство. Обозначим через dk (v) расстояние в Sk от s до u. Нужно

Допустим, что это не так, т.е. что dk (vi+1) > d(vi)+ 1 для некоторого i. Согласно правилам построения сети Sk это означает, что Sk не содержит дуг vi, vi+1 (и, очевидно, не содержит также дуг vi+1, vi . Таким образом, во время k-й фазы в S не модифицируется ни поток из vi в vi+1, ни из vi+1 в vi. Однако это противоречит существованию в начале (k + 1)-й фазы дуги в S, допустимой от vi до vi+1, которой не было в начале k-й фазы. Это противоречие доказывает неравенства (4.9). Из этих неравенств, учитывая, что dk (v0) = 0, индукцией по i выводим, что

Если все вершины пути v0, v1, . . . , vlk+1 принадлежат сети Sk , то отсюда следует неравенство dk (t) ≤ dk+1(t). Равенство dk (t) = dk+1(t) было бы возможно, только когда dk (vi) = dk+1(vi), 0 ≤ i ≤ lk+1, но легко заметить, что повторение пути в Sk и Sk+1 противоречило бы псевдомаксимальности потока, найденного в Sk . Следовательно, должно быть dk+1(t) > dk (t).

Рассмотрим теперь случай, когда существует вершина пути v0, v1, . . . , vlk+1 , не принадлежащая Sk. Пусть vp+1 — первая такая вершина (очевидно, что 1 ≤

p+1 ≤ lk+1 −1). Рассуждая аналогично предыдущему, мы можем сделать вывод, что появление в Sk+1 дуги vp, vp+1 , которой не было в Sk, может быть вызвано только тем, что dk (vp) = dk (t) − 1, и до вершины vp+1 мы доходим уже после достижения стока t (так что она не включается в Sk ). Учитывая (4.10) и тот факт, что вершины v0, v1, . . . , vp−1 принадлежат сети Sk, получаем

lk = dk (t) = dk (vp) + 1 < dk+1(vp) + 1 = p + 1 ≤ lk+1.

Принимая во внимание то, что l1 ≥ 1 и lk ≤ n − 1 для произвольного k, получаем

Следствие 4.5. Число фаз в методе Диница не превышает n − 1.

Нам осталось только рассмотреть эффективный алгоритм построения псевдомаксимального потока во вспомогательной бесконтурной сети. Авторами метода, который мы опишем, являются Малхотри, Кумара и Махешвари [48], метод реализуется в процедуре M AXP SA, описанной ниже. Чтобы описать эту процедуру, введем понятие потенциала вершины сети, т.е. максимального количества потока, который можно «пропустить» через эту вершину. Он определяется как минимум двух величин: максимального возможного потока в вершину v (входной потенциал) и максимального возможного потока из вершины v (выходной потенциал). Точнее, потенциал вершины v произвольной сети S = G, c с источником s и стоком t равен

П(v) = min {ПВХ(v), ПВЫХ(v)} ,

Процедура M AXP SA сначала вычисляет потенциалы всех вершин во вспомогательной бесконтурной сети (строки 3–12), помещая вершины с нулевым потенциалом в стек СТЕК. Очевидно, что вершину с нулевым потенциалом можно удалить из сети вместе со всеми инцидентными ей дугами, не оказывая влияния на какой-либо поток в этой сети. Удаление такой вершины, а точнее, инцидентных ей дуг, может вызвать обращение в нуль потенциалов некоторых соседних вершин, удаление которых обращает в нуль потенциалы других вершин и т.д. Этот процесс реализуется в цикле 17. После выхода из этого цикла (когда СТЕК = ) множество XN содержит вершины вспомогательной бесконтурной сети с ненулевым потенциалом (вычисляемым в сети, модифицированной последовательным удалением вершин с нулевым потенциалом). Если XN = , то