Модель олигополии Стэкльберга

Модель немецкого экономиста Генриха фон Стэкльберга (1934 г) называют моделью лидерства по объему выпуска, или моделью асимметричной дуополии. Модель Стэкльберга позволяет проанализировать взаимодействие фирм как лидеров и последователей.

Фирма считает себя лидером по объему выпуска, если ей удается первой принять решение об уровне выпуска. Лидер в модели Стэкльберга знает, что его соперник ведет себя по Курно, знает его функцию реакции и учитывает ее в собственной функции прибыли, которую он при этом максимизирует как монополист.

Последователь в модели Стэкльберга понимает, что конкурент является лидером, поэтому ведет себя так же, как и в модели Курно: максимизирует свою прибыль, считая выпуск соперника заданным ( рассматривает выпуск фирмы –лидера в качестве экзогенного параметра, т.е. принимает решение при нулевой предполагаемой вариации λ= ∂q₁/ ∂q₂=0).

Модель Стэкльберга - модель однократного взаимодействия, в которой на роль лидера может в равной мере претендовать любой из дуополистов.

Поскольку в данной модели мы делаем те же предпосылки, что и в модели Курно, поэтому поведение дуополистов Стэкльберга характеризуют такие же изопрофиты и кривые реакции, как и у дуополистов Курно.

Рассмотрим случай линейной кривой спроса и равных предельных издержек у дуополистов ( рис. 6.17)

1) Пусть первая фирма является лидером, а вторая фирма – последователем. Поскольку лидер максимизирует прибыль, считая, что фирма-последователь будет принимать решения о выпуске в соответствии со своей кривой реакции (RF₂), то равновесие в отрасли будет достигнуто в точке касания кривой реакции (RF₂) и изопрофиты П₁⁰ фирмы 1 (рис. 6.15). Изопрофита П₁⁰ является самой низкой из доступных при данной кривой реакции второй фирмы. В точке (S₁^L⁾ выпуск лидера, позволяющий получить ему максимальную прибыль с учетом функции реакции соперника, составит q₁^L^. .Это равновесие представляет собой разновидность равновесия по Нэшу,

Фирма - последователь при этом будет иметь объем производства q^F₂ в соответствии со своей кривой реакции (RF₂).

Фирма 1, выступая в роли лидера в дуополии Стэкльберга в ситуации отраслевого равновесия получит большую прибыль, чем получила бы в роли дуополиста Курно, т.к. находится на более низкой изопрофите.

Фирма 2, выступая в роли последователя проигрывает в прибыли, поскольку находится на более высокой изопрофите , чем П₂⁰ ( поскольку через точку S₁^L пройдет более высокая изопрофита фирмы 2).

Чтобы найти объем выпуска и цену, по которой фирма-лидер будет максимизировать свою прибыль при заданной реакции фирмы-последователя, подставим в уравнение прибыли лидера (6.18): П₁ = (a- bq₁ - bq₂) q₁– c q₁, вместо q₂ функцию реакции фирмы 2 (последователя) (6.23): q₂ = -(1/2)q₁+(а-с)/2b

тогда прибыль лидера :

П₁^L = [a – bq_i – b((-1/2q₁+(а-с)/2b] q₁ – с q₁= aq₁ – bq_i ²+ b q₁² /2- (а-с)/2b – с q_1,

откуда П₁^L = ((а-с)/2) q₁- bq₁² / 2. (6. 48)

Условие первого порядка для максимизации прибыли фирмы 1-лидера :

∂ П₁/ ∂q₁ = ((a– c) / 2)- bq₁ = 0 (6.49)

Отсюда находим:

q₁^L^*= (a– c) / 2b. (6.50)

Рис. 6.17. Равновесие в дуополии Стэкльберга

Таким образом, фирма-лидер1 производит такой же объем продукции, как и монополист.

Условия второго порядка также выполняется: -b<0, (т.к. само значение b > 0),

Равновесный выпуск фирмы - последователя 2 найдем, подставив полученное значение выпуска лидера (6.50) в уравнение функции реакции фирмы 2 (6.23):

q₂^F* = - (a– c) / 4b + (a– c) / 2b = (a– c) / 4b (6.51=23)

Равновесный отраслевой выпуск в дуополии Стэкльберга получим, просуммировав выпуск фирмы-лидера 1 (6.50) и фирмы- последователя 2 (6.51):

Q*= q₁+ q₂= 3(a– c) / 4b. (6.52)

Равновесную цену получим, подставив значение отраслевого выпуска (6.52) в функцию рыночного спроса:

P* = a - b'3(a– c) / 4b = (a+ 3c) / 4 (6.53)

Прибыль лидера составит:

П₁= (а –с)²/8b (6.54)

Прибыль последователя: П₁= (а –с)²/16b (6.55)

Вывод: преимущество первого хода позволяет фирме-лидеру получать прибыль в два раза большую, чем получит последователь. Поэтому последователь также хочет быть лидером (рис.6.17а).

2). Ситуация отраслевого равновесия по Стэкльбергу, если фирма 2 будет выступать в роли лидера, а фирма 1 в роли последователя представлена точкой S₂^L (рис.6.17.). Поскольку мы исходили из симметричных функций спроса и издержек, то результаты для ситуации, когда фирма 2 станет лидером, а фирма 1 последователем , будут такими же, что и в случае лидерства фирмы 1 и последователя фирмы 2 с той только разницей, что индексы в формулах будут изменены с q₁ на q₂.

3) В ситуации, когда обе фирмы претендуют на роль лидера, отраслевое равновесие в модели Стэкльберга не достигается. Тогда во избежании "ценовой войны" дуополисты должны будут договориться: либо о том, что кто из них все же станет лидером, либо создадут картель, который позволит максимизировать прибыль отрасли. (Значения прибыли, цены и объема выпуска лидера, последователя и отрасли попробуйте определить самостоятельно, см. т. В на рис. 6.17а).

(См. Приложение 6.2)

(Подробнее о модели «борьба за лидерство» в кн.: А.Вурос, Н. Розанова «Экономика отраслевых рынков» М.,2000,- с.125-128).

На рис.6.17а в качестве итога рассмотрения моделей количественной дуополии представлены соотношения оптимальных объемов выпуска: модели Курно (т.К), модели Стакильберга (т.С₁ , если лидер 1 фирма ит.С₂– если лидер –2 фирма). Таким образом, в модели Стакильберга фирмы совместно производят объем производства больший, чем в модели Курно (рис. 6.17а).