6.4 Возможные подходы к классификации моделей дуополии

6.4.1 Предположительные вариации

Рассмотрим олигополии, выпускающие однородную продукцию, а вход в отрасль считаем закрытым (т.е. число фирм в отрасли фиксировано, нет возможности другим фирмам войти в отрасль). Предположим также, что рассматриваемые в данном разделе модели являются моделями однократного взаимодействия.

Имея целью своей деятельности максимизацию прибыли и принимая решение об объеме производства, олигополист должен предвидеть реакцию конкурентов на изменение своего поведения.

Предположительная вариация - это предположения олигополиста относительно реакции соперника в ответ на изменение своего собственного поведения.

Пусть в отрасли действуют n фирм, ориентированных на выпуск как стратегическую переменную и максимизирующих прибыль.

Фирмы имеют различные функции общих издержек ТС, и соответственно различные предельные издержки с_i.

Совокупный выпуск отрасли составляет Q = ∑q_i, (6.8)

где i=1,2, ...n.

Функция прибыли i-й фирмы отрасли:

П_i = P(Q)• q_i –ТС_i. (6.9)

Необходимое условие максимизации прибыли для i-и фирмы:

∂ П_i / ∂q_i = (∂(P(Q)• q_i) / ∂q_i) – c_i =((∂P(Q) / ∂Q) • ( ∂Q / ∂q_i) q_i) + ((∂q_i / ∂q_i) P) - c_i

= P + ((∂P(Q) / ∂Q) • (∂Q / ∂q_i) q_i) - c_i = 0 (6.10)

Член ∂Q / ∂q_i показывает изменение совокупного выпуска отрасли в ответ на изменение выпуска i-и фирмы. Его можно представить как:

∂Q / ∂q_i = (∂q_i / ∂q_i) + (∂q_j / ∂q_i) = 1 + (∂q_j / ∂q_i) = 1 + λ_i (6.11)

λ_i в выражении (6.11) — предположительная вариация i-й фирмы. Она показывает предположения i-й фирмы в отношении того, как отреагирует выпуск остальных j фирм на изменение ее собственного выпуска. С учетом (6.11) необходимое условие максимизации прибыли для i-и фирмы (6.10) будет иметь следующий вид:

∂ П_i / ∂q_i = P + ((∂P(Q) / ∂Q) • (1 + λ_i) q_i) - c_i = 0 (6.12)

В модели олигополии Курно ключевой предпосылкой является равенство нулю предположительной вариации i-й фирмы в отношении того, как отреагирует выпуск остальных j фирм на изменение ее собственного выпуска., т.е.λ_i = 0.

Если в олигополии Курно участвует n фирм с одинаковыми предельными издержками с_i = с, то все фирмы будут иметь одинаковый выпуск, т.к. они будут иметь одинаковое уравнение, выражающее необходимое условие максимизации прибыли:

∂ П_i / ∂q_i = P + ((∂P(Q) / ∂Q) • q_i) – c = 0 (6.13)

6.4.2 Количественные дуополии. Модель олигополии Курно

Модели олигополии Курно была разработана французским экономистом-математиком Огюстэном Курно еще в 1838 г и является одной из классических моделей количественной олигополии.

Дуополия Курно

Дуополия представляет собой олигополию, представленную всего двумя фирмами. Дуополия Курно представляет собой модель поведения олигополистов, в которой фирмы ориентированы на выпуск как стратегическую переменную, поэтому ее еще называют «количественной» олигополией. Дуополия Курно также является разновидностью моделей олигополии без сговора.

В этой модели фирмы выбирают объем выпуска, действуя одновременно и независимо друг от друга, что обусловлено предполагаемой однократностью взаимодействия. Согласно центральной предпосылке этой модели, каждая фирма-олигополист считает выпуск соперника постоянным, не реагирующим на изменения ее собственного выпуска. Иными словами, каждая фирма-олигополист стремится максимизировать свою прибыль, исходя их предпосылки о том, что ее соперники сохранят текущий уровень выпуска и при этой предпосылке принимают решения об уровне своего выпуска.

Рассмотрим вначале аналитическую версию модели, анализирующую стратегическое взаимодействие фирм при нулевых предполагаемых вариациях:

∂q₁ / ∂q₂=0, ∂ q₂ / ∂q₁=0.

Обе фирмы имеют одинаковые издержки, в т.ч. одинаковые и неизменные предельные издержки с на единицу выпуска:

TC(q₁)=, TC(q₂) =сq, (6.14)

МС=АС=с. (6.15)

Функция прибыли для фирмы 1 и 2:

П₁ = ТR ₁- ТС₁ =P(q₁ + q₂)q₁ – ТС(q₁) (6.16)

П₂ = ТR ₂- ТС₂ =P(q₁ + q₂)q₂ - TC(q₂) (6,17)

Пусть кривая отраслевого спроса представлена линейной функцией:

Р = а – b Q,

где Q = q₁+ q₂,

тогда

П₁ = (a - bq₁ - bq₂) q₁– c q₁= a q₁ – b q₁² - b q₂q₁ – c q₁ (6.18)

П₂ = (a – bq₂ - bq₁) q₂– c q₂ = a q₂ - bq₂² - bq₂q₁ – c q₂ (6.19)

Необходимое условие максимизации прибыли каждого дуополиста при заданном (неизменном) выпуске другого:

∂ П₁ / ∂q₁ = a - 2bq₁ - bq₂ - c = 0 (6.20)

∂ П₂ / ∂q₂ = a - 2bq₂ - bq₁ - c = 0 (6. 21)

Отсюда

q₁ = (( a – c) / 2b) – q₂ / 2 =-1/2q₂+(а-с)/2b (6.22)

q₂ = (( a – c) / 2b) – q₁ / 2 =-1/2q₁+(а-с)/2b (6.23)

Эти уравнения характеризуют кривые реакции фирм 1 и 2, показывающие те объемы выпуска каждой из фирм, которые приносят ей максимальные значения прибыли при заданном выпуске соперника.

Равновесные значения выпуска для фирм можно получить, решив систему уравнений (6.13) и (6.14).

Поскольку функции реакции симметричны, q₂* =q₁*, получим:

q₁*= q₂*= (а-с) / 3b. (6.24)

Проверим выполнение достаточного условия максимизации прибыли второго порядка, определив знак вторых производных функций прибыли (6.9) и (6.10):

∂ П₁ ²/ ∂q₁² = - 2b < 0 (6.25)

∂ П₂ ²/ ∂q₂² = - 2b < 0. (6.26)

Поскольку условие второго порядка выполняется, равновесные объемы q₁* и q₂* действительно максимизируют прибыль каждого дуополиста

В сумме равновесный отраслевой выпуск при дуополии Курно составит:

Q* =2(а-с) / 3b, (6.27)

Равновесная цена в отрасли:

Р * = (а + 2с) / 3 (6.28)

Рис.6.10.Равновесие дуополии Курно

В условии совершенной конкуренции при тех же издержках и кривой спроса равновесный отраслевой выпуск был бы равен Q*=(а-с)/b., а цена Р* = с.

В условиях чистой монополии равновесный выпуск Q*, производимый при MR = а - 2bQ = с, равнялся бы Q*=(а-с)/2b, а равновесная цена Р* =(а + с) / 2.

.Вывод: при прочих равных условиях отраслевой выпуск в дуополии Курно оказывается выше монопольного, но меньше конкурентного, а равновесная цена в отрасли ниже монопольной, но выше конкурентной..

При помощи изопрофит (линий равной прибыли) и кривых реакции фирм 1 и 2 проиллюстрируем равновесный исход в модели дуополии Курно, производящей однородную продукцию. Форма изопрофит определяется видом функции спроса. Поскольку в нашем примере функция спроса линейна, так что, при постоянном значении прибыли и заданной величине выпуска соперника изопрофитные линии фирмы 1 и фирмы 2 представлены параболами., ветви которых обращены вниз (поскольку функция прибыли является квадратной функцией (6.18, 6.19.). Ветви изопрофит первой фирмы обращены к оси q_l,, а ветви изопрофит второй фирмы обращены к оси q₂.

Кривые, принадлежащие семейству изопрофит обладают следующими свойствами( рис. 6.11):

1) Они вогнуты к оси, по которой откладывается объем выпуска фирмы. Изопрофиты фирмы 1 вогнуты к оси q₁, a изопрофиты фирмы 2 к оси q₂). Вогнутость определяется реакцией фирмы на решение о выпуске, принятое соперником. Степень реакции должна быть такой, чтобы уровень прибыли фирмы остался неизмененным.

Рис. 6.11. Семейства изопрофит и кривые реагирования дуополистов Курно для фирм-производителей однородных товаров.

Предположим, что фирма 2 производит q¹₂ (см. рис.6.12). Тогда фирма 1 будет получать прибыль П₁¹, производя или q^h₁, или q^g₁.

Здесь возможны два варианта развития событий.

а) если фирма 2 увеличивает свой выпуск до q²₂. то фирма 1, стремясь сохранить уровень прибыли П₁¹ сократить выпуск до q^f₁ .

Так как фирма 1 изначально выбрала больший из двух возможных выпусков q^g_1, то при увеличении производства фирмой 2, фирма 1 должна сократить свое. Иначе это приведет к росту объема предложения на рынке в целом, снижению рыночной цены и, в результате, уменьшению прибыли фирмы 1.

Это произойдет из-за того, что большой объем производства фирмы 1, скорее всего, соответствует области неэластичного спроса. Поэтому снижение рыночной цены приведет к снижению совокупной выручки ТR. При этом может оказаться, что при большом объеме производства перестает действовать положительная отдача от масштаба. Поэтому сокращение производства приведет к снижению совокупных издержек ТС и, тем самым, позволит сохранить неизменный размер прибыли.

Фирма 1 в ответ на увеличение производства фирмы 2 будет сокращать свой выпуск до уровня q^e₁, сохраняя тем самым неизменным уровень прибыли П₁¹ .

б) если бы фирма 1 исходно выбрала бы небольшой объем производства q^h₁, при котором спрос является эластичным, то снижение рыночной цены из-за увеличения общего рыночного предложения, которое произойдет в результате роста производства на фирме 2, заставит фирму 1 производить больше. При этом фирма 1 сможет сохранить свою прибыль П₁¹, лишь увеличив свой выпуск до q^e₁. Это возможно потому, что при малых объемах действует положительная отдача от масштаба и рост производства фирмы 1 может приводить к снижению совокупных издержек ТС.

q₂

e

q₂^e

f

g

h

q₂²

q₂¹

П₁¹

q₁

0

q₁^h

q₁^e

q₁^f

q₁^g

Рис. 6.12. Изопрофитная линия фирмы 1

2). Чем дальше от оси выпуска фирмы расположены ее изопрофиты, тем меньший уровень прибыли они характеризуют. Максимум прибыли каждой из фирм, равный монопольной прибыли, достигается на осях, в точках M₁ и M₂, т.е. там, где соперник ничего не производит. (см. рис.6.12).

Для фирмы 1 оптимальный объем производства определяется точкой касания линии уровня выпуска фирмы 2, параллельной оси выпуска фирмы 1, и самой низкой из возможных (при данном выборе фирмы 2) изопрофиты фирмы 1. Эта точка будет высшей точкой самой низкой из достижимых изопрофит.

фирмы 1.

3) Высшие точки изопрофит фирм-дуополистов смещены к оси выпуска соперника (см. рис. 6.11). Для фирмы 1 они смещены влево (для фирмы 2 — вправо), поскольку чем выше выпуск одной из фирм (фирмы-соперника), тем меньше выпуск другой и тем меньше прибыль последней.

Соединив высшие точки изопрофитных кривых получим кривые реакции фирм-дуополистов. Кривые реакции представляют собой геометрическое место точек максимумов прибыли одного дуополиста при заданном выпуске другого (R1(q₂) и R(q₁) ( рис.6.11).

Точка пересечения кривых реакции (т.С) определяет равновесие по Курно (рис. 6.13). В этой ситуации у дуополистов отсутствует стимул к изменению своего положения, т.е достигнута ситуация равновесия по Нешу.

(Напомним, что тип рыночного равновесия, в котором ни одна из фирм не хочет в одностороннем порядке изменить свой выбор, поскольку он является наилучшим ответом на поведение соперников, называется равновесием по Нэшу).

Равновесие в дуополии Курно устойчиво и стабильно, если кривая реакции фирмы 1 круче кривой реакции фирмы 2 (рис. 6.13).

Рис. 6.13. Устойчивость равновесия в дуополии Курно

Если фирма 1 произведет q¹₁ меньше q₁*, то фирма 2, считая, что фирма 1 по-прежнему будет выпускать q¹₁, произведет q¹₂.

Тогда фирма 1, считая, что фирма 2 неизменно будет производить q¹₂, выпустит q²₁. На это фирма 2 отреагирует сокращением собственного выпуска до q₂². Изменения в производстве фирм в соответствии с их функциями реакции будет происходить до тех пор, пока они не окажутся в точке равновесия Курно-Неша, точке C- N, которое будет достигнуто при объеме выпуска первой фирмы q₁* и объеме выпуска первой фирмы q₂*.