§2. Следование по правилам «логического квадрата»

Рассмотрим отношение следования по «логическому квадрату»

Здесь для элементарных высказываний отношение логического следования устанавливается следующим образом. Если высказывания А и Е истинны, то из них следуют истинные:

1. подчиненные высказывания — А→ I; Е→ О. Например: Если все планеты — небесные тела, то некоторые планеты - тоже небесные тела. Если ни один народ не желает войны, то и некоторые народы не желают войны.

2. отрицания контрарных высказываний — А→ Е; Е→ А. Например. Если все планеты светят отраженным светом, то неверно, что ни одна планета не светит отраженным светом. Если ни один кит не является рыбой, то и некоторые киты не являются рыбами.

3. отрицания контрадикторных высказываний: А→О; Е→I. Например: Если все люди смертны, то неверно, что некоторые люди не являются смертными. Если ни один металл не является диэлектриком, то неверно, что некоторые металлы — диэлектрики.

Е сли истинны высказывания I или О, то из них логически следует только отрицание контрадикторных высказываний: I→ Е; О→А. Например. Если некоторые птицы — водоплавающие, то неверно, что ни одна птица не является водоплавающей. Если некоторые металлы не являются твердыми веществами, то неверно, что все металлы — твердые вещества.

Если высказывания А, Е, I, O являются ложными, то для того, чтобы использовать их в качестве посылок в рассуждениях, необходимо построить отрицания данных высказываний, в результате чего мы получим новые высказывания — посылки, которые будут иметь истинное значение. Например, высказывание А ложно, тогда высказывание «неверно, что А» — истинно. Все небесные тела — планеты» (Л), «Неверно, что все небесные тела — планеты» (И). «неверно, что А» и будет выступать в качестве посылки.

а) Из истинности посылки  А следует истинное заключение О. Аналогичным образом из истинности «неверно, что Е» логически следует только истинность I. Если неверно, что ни одно небесное тело не является планетой, то верно, что некоторые небесные тела — планеты.

Отношение логического следования между Е и А, а так же между Е и О не имеет места.

Отрицание ложного частного высказывания тоже есть высказывание истинное, и оно может быть посылкой в рассуждении. В этом случае из отрицания ложного частного высказывания следует:

1. контрадикторное ему высказывание: I→ Е; О→А. Например.

Если неверно, что некоторые планеты светят собственным светом, то верно, что ни одна планета не светит собственным светом. Если неверно, что некоторые киты не являются млекопитающими, то верно, что все киты — млекопитающие.

2. субконтрарное высказывание: I→ О; О→ I. Примеры.

Если неверно, что некоторые планеты светят собственным светом, то верно, что некоторые планеты не светят собственным светом. Если неверно, что некоторые киты не являются млекопитающими, то верно, что некоторые киты являются млекопитающими.

3. отрицание подчиняющего высказывания: I→ А; О→ Е. Например.

Е сли неверно, что некоторые планеты светят собственным светом, то неверно, что все планеты светят собственным светом. Если неверно, что некоторые киты не являются млекопитающими, то неверно, что ни один кит не является млекопитающим.

Способ проверки последовательности рассуждений по «логическому квадрату» применим только в том случае, если проверяемое рассуждение содержит в качестве посылок некоторые элементарные высказывания, относящиеся к одному из четырех видов в «логическом квадрате»: А, Е, I, О. Кроме того, обратим внимание, что здесь рассматриваются рассуждения, состоящие из высказываний, имеющих в качестве субъекта и предиката одинаковые термины. Так, например, по правилам «квадрата» из высказывания:

«Все девушки любят конфеты»

нельзя непосредственно вывести высказывание:

«Коробка конфет — хороший подарок для девушки».

Для этого потребуется, во-первых, дополнительная информация. Во-вторых, придется воспользоваться другими способами построения рассуждения⁴⁷.

Иногда нам требуется проверить рассуждение и установить, присутствует ли отношение следования между посылками и заключением. Одним из эффективных способов проверки последовательности рассуждений, состоящих из простых или элементарных высказываний, в логике является правило контрапозиции. Правило контрапозиции имеет следующую схему: «если А, то В, тогда всегда, если не-В, то не-А». если отношение логического следования сохраняется при «обратном прочтении», то оно имеется и в прямом, исходном рассуждении. Например:

Если бухта замерзла, то корабли не могут в нее войти, тогда всегда, если корабли могут войти в бухту, то бухта не замерзла.

Если отношение логического следования отсутствует при «обратном прочтении», то оно не имеет места и в исходном. Например:

Е сли крыши домов мокрые, то прошел дождь, тогда всегда, если дождь не прошел, то крыши домов не мокрые.

Способ проверки наличия отношения логического следования в рассуждениях по «логическому квадрату» и правило контрапозиции относятся только к элементарным высказываниям. Для сложных высказываний требуется построение таблиц истинности. В некоторых случаях для осуществления проверки можно воспользоваться «кругами Эйлера».

Резюме. Рассуждение (умозаключение) является одним из важнейших элементов интеллектуальной деятельности. Благодаря умозаключениям мы можем получать новую информацию из уже имеющейся. Считается, что умозаключение состоит из посылок и заключения. В соответствии с наличием отношения логического следования между посылками и заключением в логике выделяют дедуктивные рассуждения. Только они гарантируют получение истинного заключения при наличии истинных посылок. В остальных (недедуктивных) рассуждениях вывод носит вероятностный характер. В простейших случаях удобно проверять наличие отношения следования с помощью «правила контрапозиции».