Признак разрешимости Диофантовых уравнений (ВТФ, гипотеза Биля). - Белотелов В.А

А1х1 В1у1 С1z1 ... А2х2 В2у2 С2z2 ...

Данная работа является побочным результатом от попытки решения

уравнения а5 в5 с5 d 5 .

А предыстория этой статьи в статье «Алгоритм решения Диофантовых уравнений (АРДУ)». Доказательство ВТФ из этой статьи можно бы считать безукоризненным, если бы не Пифагорово уравнение. Вторая степень такое красивое доказательство испортила. Недолюбливаю я с той поры вторую степень, да и степени большего порядка до кучи. Но вторая степень достала больше всех, ибо те задачи которые я пытался решить, в них то она, вторая, и присутствовала. АРДУ работает нормально, когда требуется найти решения. А задачи приходиться решать несколько иные. Ну, например, найти простые

числа, когда в формуле ( 1)( 1) - числа дробные и тогда

( 1)( 1) описывает простые числа. И все неудачи связаны со второй

степенью. Да, вторая степень стоит особняком. Вторую степень я пытаюсь обойти, в принципе это возможно. См. таб. 1.

Таблица 1.

Каждый член степенного ряда можно представить формулой

n

n2 (2n 1)

n 1

Решая уравнение а5 в5 с5 d 5 и появилась идея попытаться представить степенные ряды в виде комбинации линейных функций, с последующим решением вышеупомянутого уравнения. Не смог я воспользоваться полученным результатом, а в таком разе и с народом поделиться можно. Поделиться в том числе и побочным результатом. Была составлена таб. 2.

Таблица 2.

В этой таблице 1 - разность между соседними членами степенного

ряда, 2 - разность от разностей, 3 - разность от разностей разностей и т.д.

Получились трапеции, в которых на верхних сторонах расположены одинаковые числа.

Уважаемые читатели этой статьи, если есть числовой ряд, - стройте трапецию. Если получите на верхней стороне одинаковые числа – закономерность есть. Высота трапеции определяет порядок ряда.

Вернёмся к таб. 2.

Для третьей степени можно получить следующие соотношения:

Таблица 3.

Есть другое написание, оно следует опять же из таблицы 2.

Таблица 4.

Построим трапеции на коэффициентах при сомножителях 12 и 6.

Эти трапеции построены для подтверждения присутствия закономерности. В дальнейшем строить их не будем. И варианты соотношений все выписывать не будем. По одному. Исключением будет пятая степень.

Таблица 7.

Из таблицы 7 можно сделать следующее построение. Может быть, оно будет полезным хоть кому-то.

106 1+9х63+8х602+7х2702+6х8162+5х19502+4х39962+3х73502+2х124802+199262 Таблица 9.

Таблицы 3, 4, 6,7, 8, 9 построены все из таблицы 2, хотя они и разных видов. На любителя, кому какие приглянутся, а может пригодятся.

А теперь рассмотрим таблицы 3, 4, 6, 7, 9.

Члены степенных рядов с показателями К=3, 4, 5, 6 удалось представить в виде комбинаций функций. Каждый член степенного ряда подчиняется какой – то закономерности, не суть важно какой. Важно, что в разложении каждого члена степенных рядов присутствует неизменная величина – единица, которая сама по себе, и ни в каких последовательностях при возрастании – убывании номера члена степенного ряда не участвующая.

Поэтому при решении уравнений взаимодействие единиц левой и правой частей этих уравнений, надо рассматривать отдельно от взаимодействия переменных величин. При равном количестве членов уравнения левой и правой сторон, можно представить, что единицы идут под сокращение. После сокращения на единицу номер члена степенного ряда не теряется. Например. Если в разложении члена степенного ряда присутствуют арифметические прогрессии, тогда номер будет зафиксирован в слагаемых

Когда при общем чётном количестве членов левой и правой частей уравнения количество членов уравнения в левой части не равно количеству членов в правой части, объяснение будет иным. Объяснение простое, но пусть каждый, кто разделяет идею этой статьи, додумает сам.

Важно, чтобы общее количество членов уравнения из - за единиц было чётным. Будем считать количество членов уравнений.

1. Ах Ву С z - нет решения в натуральных числах при x, y, z 2 .

2.Ах 1 Ву С z - решение возможно.

3.2Ах Ву С z - решение возможно.

4.Ах 2Ву С z - решение возможно.

5.2Ах 2Ву С z - нет решения.

6.Ах Ву С z D f - решение возможно.

7.2Ах Ву С z D f - нет решений и т.д.

Вэтой статье нет метода решения уравнений вида 2, 3, 4, 6. Поэтому и пишем лишь о возможности решений, даже зная о конкретных примерах существования решений.

Доказательством же будут методы решения, которые несомненно будут найдены.

Пока предлагаю ограничиться признаком разрешимости этой статьи, а также признаком разрешимости, опубликованным в статье «АРДУ».

При присутствии в уравнениях 1, 5, 7 хотя бы одной величины x, y, z, f равной двум, тогда решение возможно. Опять пишем лишь о возможности существования решений.

Объяснение будет таким. Мы можем представить члены степенного ряда с показателем два в двух ипостасях.

n

I. n2 (2n 1) см.табл.1.

n 1

Таблица 10.

Данное представление получено из таблицы 2. И по нашему усмотрению будем в наших интересах использовать любое из двух представлений сообразно текущим нуждам.

Замечание по самой статье.

При показателях степенных рядов к → ∞, в доказательстве ничего не изменится. Гарантией этому метод построения таблицы 2 и метод получения для каждого члена степенного ряда представления в виде комбинаций функций.

Заключение.

Об особой роли единицы в членах степенных рядов можно порассуждать и из формул соседних членов этих рядов

nак 1 (nа 1)к

Но в свете этой статьи это будет подгонка под известный результат. Я не стал этим заниматься. Пусть после коллективного осмысления, и

при благоприятном мнении в пользу идеи этой статьи, профессионалы выскажутся, - это основное.

Есть сомнение вот в чём. Если количество членов в уравнении будет нечётным и разница в количестве членов левой и правой частей уравнения будет равна единице, тогда решений не будет при любом суммарном количестве членов уравнения. А вот если разница между количеством членов левой и правой частей уравнения будет равна, например, 7, 15, 31, 63 (см. табл. 3, 6, 7, 9), - тогда об отсутствии решений утверждать не могу.

В работе АРДУ доказывал о существовании решений в уравнении (1) при условиях А≠В≠С, x≠y≠z т.е. в уравнении Биля.

Ошибся. Ошибка заключалась в том, что неизвестные надо рассматривать в совместном взаимодействии, а не разрывать уравнение на несколько частей. Приношу извинения тем, кто потратил понапрасну время на изучение неправильного решения уравнения Биля. Причина в том, что сам учусь.

Белотелов В.А. декабрь 2010г.