7. Эйлеровы орграфы

Рассмотрим ориентированный граф (орграф) . Определение эйлерова ориентированного графа сходно с определением неориентированного эйлерова графа. Предварительно введем вспомогательные понятия. Каркасным графом (коротко: каркасом) для ориентированного графа называется граф, получаемый из снятием направлений всех его дуг. Ориентированный орграф называется слабосвязным (коротко: связным), если связен соответствующий ему каркасный граф. Ориентированная эйлерова цепь это ориентированная цепь, содержащая каждую дугу графа точно один раз. Орграф называется полуэйлеровым, если в нем существует ориентированный эйлерова цепь. Аналогично ориентированная эйлеров цикл это ориентированный цикл, содержащий каждую дугу графа точно один раз. Орграф называется эйлеровым, если в нем существует ориентированный эйлеров цикл.

Аналогично теореме 4 можно доказать следующее утверждение.

Теорема 6. Ориентированный граф , у которого связен соответствующий скелетный граф, является эйлеровым тогда и только тогда когда для любой вершины графа число входящих ребер равно числу исходящих ребер, т.е. равны полустепени захода и исхода вершины :

.

Теорема 7. Ориентированный граф , у которого связен соответствующий скелетный граф, является полуэйлеровым тогда и только тогда когда существует в точности две вершины , такие что

,

а для остальных вершин

(в этом случае эйлерова цепь начинается в вершине , а заканчивается в вершине ).

Вопросы, связанные с распознаванием гамильтоновости (полугамильтоновости) графа и построение соответствующих гамильтоновых циклов (цепей) являляются достаточно сложными и мы на них не будем останавливаться.

8. Кратчайшие пути. Алгоритм Дейкстры.

До сих пор нами рассматривались графы и составляющие их вершины и ребра (дуги), по которым можно перемещаться. Рассмотрим сейчас не только перемещение из одной вершины в другую, но и то, как это сделать наилучшим способом, выбранным в соответствии с каким-либо критерием. Рассмотрим критерии, базирующиеся на понятии веса ребра (дуги) графа. Для этого присвоим каждому ребру или дуге графа определенный вес. Соображения, по которым присваивается тот или иной вес, могут быть различными и зависят от существа решаемой задачи. Например, если в качестве вершин графа выбираются города, а в качестве дуг – авиалинии между этими городами, то, в зависимости от интересующей нас задачи, весом ребра или дуги может являться либо длина перелета, либо время перелета, либо стоимость билета из в и т.д. Ребра (дуги) графа, которым присвоен некоторый вес, будем называть взвешенными ребрами (дугами). Граф, ребрам или дугам которого присвоен определенный вес, будем называть взвешенным графом. В дальнейшем будем предполагать, что рассматриваемый граф является ориентированным, а вес любой дуги – некоторое неотрицательное число, причем для удобства несуществующим дугам графа присвоим бесконечный вес. Обозначим вес дуги через , при этом , если вершины и не соединены дугой. Будем говорить, что вершина графа достижима из его вершины , если существует связывающий их путь , составленный из дуг графа, в котором вершина является начальной, а вершина - конечной:

.

Длиной или весом этого пути называется сумма длин, входящих в него дуг:

.

Наименьшее значение из длин путей, связывающих вершины и , назовем расстоянием от до и обозначим . Если вершина не достижима из , то расстояние от до , обозначаемое тем же символом , полагается бесконечным. Путь , длина которого равна расстоянию , называется кратчайшим путем. Отметим, что кратчайших путей может быть несколько. Если , то не имеет смысла говорить о кратчайшем пути.

Многие задачи сводятся или к нахождению кратчайшего пути или к нахождению расстояния от одной вершины графа до другой его вершины. Рассмотрим один из наиболее известных алгоритмов нахождения расстояния от одной вершины графа до другой - алгоритм Дейкстры (Едсгер Дейкстра, нидерландский математик, 1930 – 2002).

Итак, пусть – ориентированный граф с взвешенными дугами. Обозначим через -вершину – начало пути и через -вершину – конец пути. Алгоритм Дейкстры представляет собой итерационную процедуру, на каждом шаге которой всем вершинам графа приписываются числа (метки) , которые служат оценкой длины (веса) кратчайшего пути от вершины к вершине . Если вершина получила на некотором шаге метку , то это означает, что в графе найдется путь из в , имеющий вес . Метки, присваемые вершинам, могут быть временными или постоянными. Превращение метки в постоянную означает, что кратчайшее расстояние от вершины до соответствующей вершины найдено.

Перед первой итерацией начальной вершине присваивается постоянная метка , а все остальные вершины получают временные метки, равные бесконечности. Каждая итерация алгоритма состоит в просматривании меток вершин, к которым ведут дуги из вершины, которая последней получила постоянную метку (для первой итерации это вершина ). Пусть - последняя вершина, которой присвоена постоянная метка. Тогда каждой вершине , не имеющей постоянной метки, присваивается новая временная метка, равная .

Ясно, что нет смысла рассматривать вершины , к которым не ведут дуги из вершины . Для таких вершин и поэтому

,

т.е. значения меток таких вершин остаются неизменными. Каждая итерация заканчивается выбором из вершин с временными метками вершины, обозначим ее , с наименьшим значением метки и превращением этой метки в постоянную (если таких вершин несколько, то выбираем любую из них).

Алгоритм заканчивает работу, когда заданная конечная вершина получает постоянную метку. Рассмотрим следующий

Пример. В графе с взвешенными ребрами найти длину кратчайшего пути от вершины до вершины .

1 шаг. Вершине присваиваем постоянную метку остальным вершинам придадим временные бесконечные метки:

2 шаг. Пересчитываем метки вершин, являющихся концами дуг, выходящих из вершины с последней постоянной меткой, т.е. из вершины . При этом временные метки остальных вершин оставим без изменения. Получим

Выбираем из этих меток наименьшую: и превратим ее в постоянную.

3 шаг. Пересчитываем метки вершин, не имеющих постоянных меток и являющихся концами дуг, выходящих из вершины с последней постоянной меткой, т.е. из вершины . При этом вновь временные метки остальных вершин оставим без изменения. Получим

Выбираем из этих меток наименьшую: и превращаем ее в постоянную метку.

4 шаг. Пересчитываем метки вершин, не имеющих постоянных меток и являющихся концами дуг, выходящих из вершины с последней постоянной меткой, т.е. из вершины . При этом, как и ранее, временные метки остальных вершин оставляем без изменения. Имеем:

Выбираем из этих меток наименьшую: и превращаем ее в постоянную метку. Вершина получила постоянную метку . Таким образом, длина кратчайшего пути от вершины до вершины (или, что то же самое, расстояние от вершины до вершины ) равно 6. Нетрудно видеть, что путь и является кратчайшим путем.

Работа алгоритма показана в следующей таблице. Постоянные метки вершин заключены в квадратные скобки.

Вершина\ Итерация
0						1
1	-----	5			8	3
2	-----		-----	10	8	2
3	-----	-----	-----		8	4
4

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

1 ЗАДАНИЕ. Для графа с заданными мощностями (т.е. -число вершин, а - число ребер графа ) составьте матрицы смежности и инцидентности. Определите локальные степени вершин. Является ли граф, соответствующий Вашему варианту эйлеровым, полуэйлеровым, гамильтоновым и почему?

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	5	7	6	6	5	7	8	8	6	8
m	7	9	8	9	8	11	11	12	10	13

2 ЗАДАНИЕ. Найдите эйлерову цепь в графах.

3 ЗАДАНИЕ. Найти расстояние от вершины до вершины и построить соответствующий кратчайший маршрут.

1 вар.	2 вар.	3 вар.	4 вар.	5 вар.
6 вар.	7 вар.	8 вар.	9 вар.	10 вар.

14