2. Локальные степени вершин

Пусть - неориентированный конечный граф. Обозначим через число ребер графа , инцидентных вершине , и назовем это число степенью вершины . Справедлива следующая

Теорема 1. В конечном неориентированном графе без петель число вершин нечетной степени четно.

Доказательство. Найдем число ребер графа, обходя все его вершины и посчитывая все ребра, инцидентные этим вершинам. При таком подсчете каждое ребро будет учтено дважды: один раз при подсчете ребер инцидентных , другой - при подсчете ребер, инцидентных . Поэтому

(1)

где - множество ребер графа , - число элементов множества . Таким образом, сумма стоящая в правой части равенства (1), является четной. Эта сумма останется четной и после удаления из нее всех четных локальных степеней . Поэтому число оставшихся слагаемых, отвечающих нечетным локальным степеням , должно быть нечетным.

Заметим, что утверждение теоремы остается верным и для неориентированных графов с петлями, если каждую петлю считать дважды.

Понятие степени вершины может быть перенесено и на ориентированные графы. Обозначим через число ребер, соответственно выходящих из вершины и входящих в вершину . Числа называются соответственно полустепенью исхода и полустепенью захода вершины . Повторяя, с незначительными изменениями, рассуждения в доказательстве теоремы 1, можно установить, что

3. Матрицы смежности и инцидентности

Существуют различные способы задания графов. Один из них – графический, был рассмотрен выше. Большинство задач, в частности задач информатики, часто удобнее решать, используя матричный способ задания графа.

Пусть - вершины графа , а - его ребра (в случае неориентированного графа) или дуги (в случае ориентированного графа). Матрицей смежности, соответствующей графу , называется матрица , элемент которой равен

1а) в случае неориентированного графа - числу ребер, соединяющих вершины ,

1б) в случае ориентированного графа – числу дуг, идущих из в .

Матрицей инциндентности, соответствующей графу , называется матрица, элемент которой равен 1, если верши на инцидентна ребру в неориентированном графе или дуга исходит из в ориентированном графе, равен -1, если дуга заходит в вершину только в ориентированном графе, и равен 0, если вершина не инцидентна ребру (дуге) .

4. Маршруты, цепи, циклы. Связность графов

Рассмотрим неориентированный граф . Маршрутом в называется любая последовательность ребер

. (2)

Вершины называются концами маршрута . Будем говорить, что есть маршрут длины , соединяющий вершины и . Для любых двух вершин маршрута подмаршрут

будем называть участком .

При определении маршрута не накладывается никаких ограничений на повторяемость входящих в него ребер, вершин. Каждое такое ограничение будет отражено в последующих определениях. Маршрут называется замкнутым, если в нем совпадают начальная и конечная вершины: Не замкнутый маршрут называется цепью, если в нем нет повторяющихся ребер (при этом вершины в цепи могут повторяться). Простой цепью называется цепь, которая не содержит повторяющихся вершин. Замкнутый маршрут, не содержащий повторяющихся ребер, называется циклом. Цикл, не содержащий повторяющихся вершин (кроме совпадающих по определению его концов), называется простым циклом.

До сих пор мы предполагали, что граф неориентированный. Все выше сформулированные определения (маршрута, цепи, простой цепи, цикла) переносятся и на ориентированные графы. При этом, в определении в определении маршрута

надо потребовать, что бы его составляли дуги. Такой маршрут в дальнейшем иногда будем называть путем.

Пусть - неориентированный граф. Граф называется связным, если любые две его вершины можно соединить цепью, в противном случае граф называется несвязным. Отношение связности позволяет произвести разложение всех вершин графа

(3)

на непересекающиеся подмножества вершин так, что все вершины внутри каждого связаны, а вершины из различных не связаны между собой. Равенство (3) влечет разложение графа

(4)

на непересекающиеся связные подграфы , которые называются связными компонентами графа . Таким образом, нами получена следующая

Теорема 2. Произвольный неориентированный граф единственным образом разлагается в прямую сумму связных компонент.

Эта теорема позволяет, в частности, позволяет свести изучение несвязных неориентированных графов к изучению связных графов. Из теоремы 1 вытекает

Теорема 3. Если ровно две вершины графа имеют нечетную степень, то они связаны.

Обозначим через вершины, имеющие нечетные степени, и пусть вершина принадлежит связной компоненте в разложении (4). По теореме 1 в конечном неориентированном графе число вершин нечетной степени четно. Поэтому, применяя эту теорему к графу , получим, что и вершина принадлежит этой же компоненте . А это означает, что вершины и связаны.