5. Эйлеровы неорграфы

Рассмотрим вновь неориентированный граф . Напомним, что незамкнутый маршрут называется цепью, если в нем нет повторяющихся ребер. Цепь, содержащая все ребра графа , называется эйлеровой цепью, а граф, содержащий такую цепь, называется полуэйлеровым графом. Напомним так же, что замкнутый маршрут, не содержащий повторяющихся ребер, называется циклом. Цикл, содержащий все ребра графа , называется эйлеровым циклом, а граф, содержащий такой цикл, называется эйлеровым графом.

Теорема 4. Конечный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда

1) граф связен; 2) все степени его вершин четны.

Доказательство. Пусть является эйлеровым графом. Условие 1), очевидно, является необходимым. Для доказательства необходимости условия 2) заметим, что при всяком прохождении эйлерова цикла через любую вершину графа используется одно ребро для входа и одно ребро для выхода. Поскольку каждое ребро используется один раз, то каждая вершина должна иметь четную степень.

Докажем достаточность условий 1), 2). Допустим, что эти условия выполнены. Начнем строить цепь обхода ребер графа из произвольной его вершины и будем продолжать ее все время, насколько это возможно, через новые (ранее не встречавшиеся) ребра. Так как все вершины имеют четную степень, то этот процесс построения может закончиться только в вершине . Обозначим построенный цикл через . Если цикл содержит все ребра графа , то - эйлеров цикл и достаточность условий 1), 2) доказана. Допустим, что цикл не содержит все ребра графа . Тогда удалим из все ребра цикла . Оставшийся граф обозначим через . Так как вершины графов и имеют четные степени, то и степени всех вершин оставшегося графа так же четные. Так как граф связен, то в графе обязательно найдется вершина, инцидентная ребрам графа . Обозначим эту вершину . Из вершины вновь начнем строить цепь, обходя только ребра из . Как и ранее, такая цепь может закончиться только в вершине . Обозначим вновь построенный цикл . Из циклов и образуем новый цикл

,

где - подмаршруты, составляющие . Если цикл содержит все ребра графа , то - эйлеров цикл и достаточность условий 1), 2) доказана. В противном случае построение продолжается. Так как граф конечный, то процесс построения заканчивается и эйлеров цикл будет построен.

Аналогично теореме 4 доказывается

Теорема 5. Конечный граф является полуэйлеровым тогда и только тогда, когда

1) граф связен; 2) ровно две его вершины имеют нечетные степени.

Отметим, что эйлерова цепь в теореме 5 выходит из одной вершины с нечетной степенью и входит в другую вершину с нечетной степенью.

6. Гамильтоновы неорграфы

Пусть - неориентированный граф.

Напомним, что простой цепью называется цепь, которая не содержит повторяющихся вершин, а простым циклом – цикл, не содержащий повторяющихся вершин (кроме совпадающих по определению его концов).

Простая цепь называется гамильтоновой цепью, если она проходит через все вершины графа. Простой цикл называется гамильтоновым циклом, если он проходит через все вершины графа. Граф, обладающий гамильтоновым циклом, называется гамильтоновым графом. Граф, обладающий гамильтоновой цепью и не являющийся гамильтоновым графом, называется полугамильтоновым графом.

Несмотря на внешнее сходство определений эйлеровых и гамильтоновых графов, теории этих понятий имеют мало общего. Так критерий эйлеровости графа был установлен достаточно просто (см. теорему 4). Необходимого и достаточного же условия гамильтоновости графа до настоящего времени не найдено. Однако, существует целый ряд достаточных условий.

Теорема (Оре). Если у графа с вершинами выполнено неравенство для любой пары несмежных вершин , то – гамильтонов граф.

Из этой теоремы вытекает

Теорема (Дирак). Если для всех вершин графа , имеющего вершин, выполнено неравенство , то – гамильтонов граф.