Раздел 4

Подраздел 4.3

1) Первое равенство соответствует стандартной форме СПР, т.е. , второе же равенство еще нужно привести к соответствующей форме. По определению СПР, . На основании второго равенства заданной системы . Сделаем замену и обозначим . Тогда

. Таким образом, стандартная форма СПР будет иметь вид

Выполняя последовательные вычисления, найдем . Из первого равенства системы находим Из второго равенства системы последовательно находим:

;

;

.

Аналитический вид функции найдем, исходя из второго равенства заданной системы равенств:

.

Нетрудно заметить, что все значения функции вычисленные аналитически и по СПР при одних и тех же значениях аргументов, совпадают.

2) Эта задача по существу является обратной к предыдущей задаче, и ответ может быть простым: функция была выше получена по СПР из простейшей функции (оператор аннулирования), которая, согласно определению, является всюду определенной, и из функции . Эта последняя функция также является всюду определенной, так как она, в свою очередь, была получена в примере 1 подразд. 4.3 по СПР из всюду определенных функций и . Поэтому функция частично рекурсивна и всюду определена и, согласно определению, является общерекурсивной.

Однако нас должен интересовать вопрос сведения аналитически заданной функции, в данном случае к СПР.

Выполним такое сведение:

Очевидно, что можно обозначить: , а представить в стандартном виде для СПР, т.е. . Тогда окончательный вид СПР для данной функции будет

Таким образом, отталкиваясь в данном примере от аналитически заданной функции мы сводим ее к СПР, которая была исходно задана в предыдущем примере.

3) Функцию можно представить в виде системы двух равенств:

Эта система может быть записана в виде СПР так:

Из первого равенства этой СПР можно записать Из второго равенства этой СПР последовательно получим

;

;

;

;

.

Эти же результаты мы получим, если выполним вычисления непосредственно по функции при соответствующих значениях аргументов.

4) Функцию можно представить в виде системы двух равенств

Поскольку данная функции зависит лишь от одного аргумента, то для нее СПР должна быть представлена в виде (3), т.е.

Определим конкретный вид функции

.

Теперь вычислим по приведенной СПР значение функции при

;

;

;

.

5) В соответствии с определением СПР запишем:

Вычислим по этой СПР несколько значений :

;

;

;

.

Продолжая этот процесс раз, получим . Теперь найдем по данной СПР :

;

;

.

Если мы вычислим значение непосредственно по аналитическому выражению, то получим тот же самый результат: .

Подраздел 4.4

1) Так как, по условию, задана десятичная система счисления, то внешний алфавит МТ должен содержать все цифры от 0 до 9 и символ пустой клетки

Чтобы решить задачу, МТ должна в первом такте работы стереть последнюю цифру числа заменить ее цифрой, на единицу большей, и перейти в состояние если последняя цифра числа была меньше цифры 9.

Если же последняя цифра числа была 9, то МТ должна стереть её, записать в освободившуюся клетку цифру 0 и произвести сдвиг головки влево на одну клетку, оставаясь в том же начальном состоянии. Во втором такте МТ должна прибавить единицу к цифре, стоявшей в левой клетке, т.е. в клетке, куда сдвинулась головка.

Если после сдвига влево головка МТ будет обозревать пустую клетку, то в следующем такте она должна записать в пустую клетку цифру 1 и перейти в состояние . Таким образом, для вычисления заданной функции МТ должна пребывать лишь в двух состояниях: и , а функциональная схема должна иметь вид следующей таблицы

Q А		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	1нq0	1нq0	2нq0	3нq0	4нq0	5нq0	6нq0	7нq0	8нq0	9нq0	0лq1

Конфигурации для будут иметь вид:

a₀5 6a₀; a₀5 7a₀; .

q₁ q₀

Конфигурации для будут такими:

a₀1 9 9a₀; a₀1 9 0a₀; a₀1 0 0a₀; a₀2 0 0a₀; .

q₁ q₁ q₁ q₀

Для будем иметь конфигурации:

a₀9 9a₀; a₀9 0a₀; a₀0 0a₀; a₀1 0 0a₀; .

q₁ q₁ q₁ q₀

2) В двоичной системе счисления сложение двух чисел выполняется в соответствии с правилами

,

,

,

.

Очевидно, что внешний алфавит должен состоять из символов , число состояний МТ должно быть равно двум: , а функциональная схема иметь вид таблицы

Q A А		0	1
	1нq0	1нq0	0лq1

Соответствующие конфигурации будут иметь вид:

, a₀1 0 1a₀; a₀1 0 0a₀; a₀1 1 0a₀; ;

q₁ q₁ q₀

, a₀1 1 0a₀; a₀1 1 1a₀; ;

q₁ q₀

, a₀1 1 1a₀; a₀1 1 0a₀; a₀1 0 0a₀; a₀0 0 0a₀;

q₁ q₁ q₁ q₁

a₀1 0 0 0a₀;

q₀

3) Внешний алфавит будет . Для реализации алгоритма необходимо, чтобы МТ, находясь в начальном состоянии заменяла последнюю цифру числа если она меньше 6, цифрой, на четыре единицы большей, и переходила в состояние .

Если последняя цифра числа равна 6,7,8 или 9, то ее нужно заменить соответственно на цифру 0,1,2 или 3 и сдвинуться влево на одну клетку, перейдя в состояние . Состояние должно добавлять 1 к следующему разряду.

Таким образом, МТ будет иметь три состояния: , а ее функциональная схема будет представлена таблицей

Q A А		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
		4нq0	5нq0	6нq0	7нq0	8нq0	9нq0	0лq2	1лq2	2лq2	3лq2
	1нq0	1нq0	2нq0	3нq0	4нq0	5нq0	6нq0	7нq0	8нq0	9нq0	0лq2

Соответствующие конфигурации будут иметь вид:

, a₀4 8a₀; a₀4 2a₀; a₀5 2a₀; ;

q₁ q₂ q₀

, a₀2 9 7a₀; a₀2 9 1a₀; a₀2 0 1a₀; a₀3 0 1a₀; .

q₁ q₂ q₂ q₀

4) В основу решения задачи можно положить следующий принцип. Если в исходном слове, которое в МТ будет представлять начальную конфигурацию вида

a₀а₁а₂…а_na₀

q₁

букву заменить на символ пустой клетки и, двигаясь вправо до первой пустой клетки, вписать в нее букву а все остальные буквы этого слова оставить без изменения, то мы и получим искомое решение. Если при этом управляющая головка в исходном состоянии обозревает букву , то она должна заменить ее на букву и, сдвинувшись вправо на одну клетку, перевести МТ в новое состояние . Это состояние во всех следующих тактах не должно менять буквы.

Если же головка в исходном состоянии обозревает букву , то она должна заменить ее на букву и, сдвинувшись вправо, перевести МТ в новое состояние . Это состояние во всех следующих тактах не должно менять буквы.

Находясь же в состоянии и обозревая головкой правую пустую клетку , МТ должна вписать в эту клетку букву , остаться на месте и перейти в состояние . Находясь в состоянии и обозревая правый символ , МТ должна вписать в эту клетку букву , остаться на месте и перейти в состояние .

Обобщая всё изложенное, функциональную схему МТ для решения данной задачи можно представить в виде

Q А
		а0пq2	а0пq3
	а1нq0	а1пq2	а2пq2
	а2нq0	а1пq3	а2пq3

Последовательности всех конфигураций для заданных слов

а₀а₁а₂а₂а₁а₂а₀,; а₀а₂а₁а₂а₁а₂а₀,;

q₁ q₁

а₀а₀а₂а₂а₁а₂а₀; а₀а₀а₁а₂а₁а₂а₀;

q₂ q₃

а₀а₂а₂а₁а₂а₀; а₀а₁а₂а₁а₂а₀;

q₂ q₃

а₀а₂а₂а₁а₂а₀; а₀а₁а₂а₁а₂а₀;

q₂ q₃

а₀а₂а₂а₁а₂а₀; а₀а₁а₂а₁а₂а₀;

q₂ q₃

а₀а₂а₂а₁а₂а₀; а₀а₁а₂а₁а₂а₀;

q₂ q₃

а₀а₂а₂а₁а₂а₁а₀; а₀а₁а₂а₁а₂а₂а₀.

q₀ q₀

5) Очевидно, что всё многообразие чисел, которые могут использоваться при заданных условиях, исчерпывается следующими словами: *, 0, и * 0 * * 0… …* *.

Таким образом, достаточно, чтобы управляющая головка различала всего лишь три символа: 0 и *. Тогда, если слово представлено всего лишь одним символом *, то для решения задачи достаточно, чтобы головка МТ, обозревая в исходном состоянии правую пустую клетку (с символом ), сдвинулась влево на одну клетку. Поскольку там записан символ *, то МТ должна во втором такте выработать команду, которая в правой пустой клетке сохранила бы символ и, обозревая символ *, перешла бы в состояние

Если задано , то нужно в первом такте сдвинуться влево на одну клетку, сохранив символ . Но поскольку любое число большее 9, может состоять из 0 в младшем разряде и из любых чисел в последующих разрядах, то это нужно проверить. То есть во втором такте нужно вновь сдвинуться на клетку влево, сохранив в предыдущей клетке 0, и перейти в новое состояние. Если окажется, что новая клетка будет пуста, т.е. в ней записан символ , то в следующем такте нужно возвратиться в предыдущую клетку, сохранив левый символ и изменив состояние МТ на новое. Поскольку в клетке, к которой возвратится головка, записан 0, то его надо зафиксировать. Для этого нужно выработать команду подтверждения 0 и переход в состояние .

Если же после 0 в младшем разряде в заданном слове окажется хотя бы один символ, то это значит, что заданное число . Следовательно, все символы, располагающиеся левее первого нуля в младшем разряде, нужно стереть, заменить их на символ пустой клетки , возвратиться к первому нулю, заменить его на символ * (что будет эквивалентно 1) и перейти в состояние .

Обобщая все сказанное, один из вариантов решения задачи, т.е. функциональной схемы, можно представить в виде следующей таблицы и соответствующих конфигураций:

Q А			0		*
	а0лq2
			0лq3		*нq0
	а0пq4		а0лq3		а0лq5
	а0пq4	0нq0		*нq0
	а0пq7	а0лq5		а0лq6
	а0пq6	*нq0
	а0пq7	*нq0

1. а₀ * а₀, 1. а₀ 0 а₀, 4. а₀ 0 а₀,

q₁ q₁ q₄

2. а₀ * а₀, 2. а₀ 0 а₀, 5. а₀ 0 а₀ − результат

q₂ q₂ q₀

3. а₀ * а₀ − результат. 3. а₀ 0 а₀,

q₀ q₃

/ 1. a₀ * 0 * 0 a₀, 6. a₀ a₀ a₀ a₀ 0 a₀,

q₁ q₆

2. a₀ * 0 * 0 a₀, 7. a₀ a₀ a₀ a₀ 0 a₀,

q₂ q₆

3. a₀ * 0 * 0 a₀, 8. a₀ a₀ a₀ 0 a₀,

q₃ q₆

4. a₀ * 0 * 0 a₀, 9. a₀ a₀ 0 a₀,

q₅ q₆

5. a₀ * a₀ a₀ 0 a₀, 10. a₀ 0 a₀,

q₅ q₆

11. a₀ * a₀ – результат

q_0.