Раздел 3.

Подраздел 3.2

1.1) Предложение является одноместным предикатом .

2) Предложение не является предикатом, так как в нем переменная заменена на конкретное значение 2. Это ложное высказывание.

3) Предложение является одноместным предикатом , так как здесь мы не говорим о конкретном значении .

4) Предложение не является предикатом, т.к. здесь мы говорим о конкретном значении и поскольку оно действительно существует, то это истинное высказывание.

5) Предложение является одноместным предикатом

6) Предложение является одноместным предикатом

7) Предложение не является предикатом, так как в нем отсутствует сказуемое, т.е. ничего не утверждается.

8) Предложение является двухместным предикатом:

.

2. Тождественно истинными являются предикаты 1), 3), 4). В предикате 2) при неравенство нарушается, а в предикате 5) неравенство нарушается при всех положительных значениях . Следовательно, предикаты 2) и 5) не тождественно истинны.

3. Так как , то:

1) 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

4. 1) ; ; 2) ; .

5. 1) Так как , то .

2) Так как – см. 1), то .

3) Так как – см. 2), то .

4) Так как – см. 1), – см. 3), то .

5) Так как – см. 3), то .

6) Так как – см. 1), то .

7) .

8) .

9) .

10)

.

11)

.

Подраздел 3.3

1. Так как , то высказывания 1) и 2) являются истинными при всех .

Так как уравнение имеет два действительных корня и , то предикат принимает истинное значение только при и , и ложное значение в остальных случаях. Но тогда высказывание 3) ложно, а высказывание 4) истинно.

2. Высказывание означает, что для всякого натурального числа существует натуральное число такое, что является делителем . Действительно, мы всегда можем подобрать для любого хотя бы одно число , которое будет делиться на . Значит, это высказывание истинно.

Высказывание означает, что существует натуральное число , которое делится на любое натуральное число . Но этого, очевидно, быть не может. Поэтому это высказывание ложно.

3. Высказывание 1) ложно, так как не существует , для которого выполнялось бы равенство . Действительно, это равенство неверное, так как из этого равенства следует, что , а это неверно. Высказывание 2) ложно, так как дискриминант и уравнение действительных корней не имеет.

Высказывание 3) истинно, так как при любых .

Высказывание 4) ложно, так как, применив метод интервалов и решив неравенство, получим , т.е. для интервала неравенство не выполняется.

Высказывание 5) истинно, так как для неравенства , а для неравенства , т.е. при (т.е. хотя бы для одного неравенство выполняется).

Высказывание 6) истинно, так как для неравенства , а для неравенства , т.е. значения , лежащие в интервале удовлетворяют обоим неравенствам.

Высказывание 7) истинно, так как решением неравенства будет интервал , а для неравенства , т.е. оба эти интервала представляют все действительные числа, любое из которых удовлетворяет либо первому, либо второму неравенству. А это и означает, что истинно высказывание 7).

Высказывание 8) истинно. Действительно, высказывание 8) можно прочитать так: “Существует действительное число такое, что если , то ”. В данном случае высказыванием-посылкой в исходном сложном высказывании является высказывание о принадлежности множеству . Заключением является, очевидно, множество решений уравнения , которое состоит из двух элементов: . Выражая импликацию через дизъюнкцию, исходное высказывание можно записать в виде

. Но , а это есть множество всех действительных чисел, кроме 2 и 5. Таким образом, исходное высказывание запишется так: . Его следует читать: “Существует действительное число , которое принадлежит множеству либо ”. Но такое число среди действительных чисел имеется. Значит, исходное высказывание истинно.

Высказывание 9) ложно. Рассуждения будут аналогичными рассуждениям, приведенным в решении 8). Здесь представим лишь формальную запись:

. Среди множеств и действительных чисел имеется одно число 5, которое не принадлежит ни одному, ни другому множеству. Поэтому исходное высказывание ложно.

Подраздел 3.5

1. Выражения 1), 4), 5) и 6) являются формулами. Выражение 2) не является формулой, так как запись в одном кванторе двух переменных не допустима. Выражение 3) не является формулой, так как переменная в высказывание входит связно, а в предикат – свободно, что для формул логики предикатов недопустимо.

2. 1) .

2) .

3)

.

4) .

5) .

6) .

7)

.

8)

.

3. Высказывание 1) ложно, так как оно утверждает, что “существует такое, что для всех истинно ”. Но так как множество состоит из множества пар натуральных чисел то для пары предикат ложен, а поэтому ложно и высказывание 1).

Высказывание 2) истинно, так как оно утверждает, что для всякого существует такое , что истинно . Рассматривая множество , мы видим, что, действительно, для любого (первого элемента любой пары) всегда найдется такой элемент (второй элемент любой пары), что будет истинно . А это и означает, что высказывание 2) истинно.

Аналогичные рассуждения приводят к заключению, что высказывание 3) ложно (для элемента никогда не найдется такое , чтобы удовлетворялось ).

Аналогичным образом устанавливается ложность высказываний 4), 5), 6) и истинность высказываний 7) и 8).

4. 1) Предикат тождественно ложный, так как среди множества пар натуральных чисел не найдется ни одного подмножества (каждое такое подмножество состоит из таких пар элементов, на первом месте в которых стоит одно и то же натуральное число, а все остальные элементы в разных парах – различные натуральные числа), для которого выполнялось бы строгое неравенство .

Действительно, мы видим, что в первом подмножестве это неравенство не выполняется для пары , во втором – для пар и , в третьем – для пар (3,1), (3,2) и (3,3) и т.д. Это и доказывает, что предикат является тождественно ложным.

2) Предикат тождественно истинный, так как в подмножествах пар элементов множества существует хотя бы одна пара, для которой выполняется строгое неравенство .

3) Предикат тождественно ложный. Рассуждения аналогичны тем, которые используются в первом примере.

4) Предикат не тождественно истинный и не тождественно ложный. Действительно, для одних пар множества неравенство выполняется, а для других нет. Это можно представить так, что если бы мы могли построить для этого предиката таблицу истинности, то в последнем ее столбце стояли бы не одни 1 или 0, а и то, и другое.

5. Формулы 2) и 7) равносильны формуле а остальные - нет. Действительно: . Формула 2) имеет такой же вид, а формула 7) приводится к такому же виду следующим образом: .

Остальные формулы к такому виду не приводятся.

6. 1) Доказательство обосновывается многократным применением равносильности 4) и двойного отрицания. Так, если формула содержит только кванторы существования, т.е. задана в виде , то мы можем записать последовательность равносильных преобразований:

.

Последняя формула кванторов существования не содержит.

Если в формулу кванторы существования и всеобщности входят в произвольном порядке, то, применяя равносильность 4 и двойное отрицание, мы также можем перейти к формуле, не содержащей кванторов существования. Действительно, пусть формула задана в виде . Тогда запишем последовательность равносильных преобразований:

. Таким образом, и в этом случае последняя формула не содержит кванторов существования. Совершенно очевидно, что при любом и при любом сочетании кванторов существования и всеобщности в исходной формуле, применяя равносильность 4 и двойное отрицание, можно привести эту формулу к равносильной формуле, не содержащей кванторов существования.

2) Доказывается аналогично задаче 1), но при этом используется равносильность 3 и двойное отрицание.

Подраздел 3.7

1.1) Нет. Выполним равносильные преобразования . Дальнейшие преобразования выполнять невозможно, но и ответить сразу по виду формулы на поставленный вопрос мы не можем. Значит, надо провести дополнительные рассуждения. Формула означает, что “для всякого истинным является предикат ”, а формула означает, что “для всякого истинным является предикат ”. Пусть предикат - “ четное число ” определен на множестве . Тогда формула , так как не все числа являются нечетными. Аналогично , так как не все являются четными. Поэтому мы имеем .

Этот же результат можно получить короче, если провести рассуждения относительно исходной формулы. Но он важен в том смысле, что может быть использован при решении других задач. Приведем более короткий вывод этого результата: , так как среди натуральных чисел существует четное число , а формула , так как не все натуральные числа являются четными. Поэтому .

2) Да. Так как .

3)

. Непосредственно из последней формулы нельзя ответить на поставленный вопрос. Значит, надо рассуждать, охватив при этом все возможные случаи бинарных отношений. Очевидно, отношения “ ” и “ ” все такие случаи охватывают.

Случай 1. Пусть : - “ ”, тогда , так как не существует такого натурального числа, которое было бы меньше всякого натурального числа. Среди натуральных чисел имеется число 1, но оно равно самому себе. Тогда формула по той же самой причине. Поэтому имеем импликацию .

Случай 2. Пусть - “ ”. Тогда , так как теперь действительно среди всех натуральных чисел существует число, а это число есть 1, которое любого натурального числа. Из таких же рассуждений получаем, что .

Таким образом, в этом случае имеем импликацию . У нас в обоих случаях получились импликации, равные 1, значит, исходная формула тождественно истинная.

4) Нет. Пусть предикат – “ – простое число” определен на множестве . Тогда на множестве всех простых чисел , а на множестве всех составных чисел . Формула , так как она утверждает, что всякое число является простым, а это неверно. Таким образом, мы имеем две импликации: и . А это означает, что не на каждой области исходная формула является истинной, а поэтому она и не является тождественно истинной.

3. 1) Не общезначима.

[этот результат был получен при решении задачи 1.1)].

2)Общезначима. .

3) Необщезначима.

.

Последняя фигурная скобка объединяет формулу, которая равна на основании того же результата, который был получен при решении задачи 1.1). Всё выражение свелось к некоторой формуле, которая в зависимости от предиката может принимать как истинные, так и ложные значения. А поэтому исходная формула не является общезначимой.

4) Общезначима.

.

5) Общезначима.

.