Вопросы для самоконтроля

1. Дайте интуитивное определение понятию алгоритм.

2. Какими свойствами характеризуется алгоритм?

3. Сформулируйте тезис Черча.

4. Какие функции называются частично-рекурсивными, общерекурсивными?

5. Поясните операцию суперпозиции функций.

6. Поясните операцию примитивной рекурсии.

7. Поясните операцию минимизации.

8. Как устроена машина Тьюринга?

9. Сформулируйте тезис Тьюринга.

10. Как работает машина Тьюринга?

11. Дайте понятие о нормальных алгоритмах Маркова.

12. В чем суть алгоритмически неразрешимых проблем?

13. Что означает полиномиальная и экспоненциальная ВСА?

14. Что понимают под трудно решаемой задачей?

15. Какие задачи относят к классам P, NP и NP-полным?

16. Как соотносятся задачи классов P, NP и NP-полных?

Ответы и решения

Раздел 1

Подраздел 1.1.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

1,3,5,7,9,10 – истинные высказывания; 2,8 – ложные высказывания; 4,6,12 – не являются высказываниями, так как эти предложения не являются повествовательными; 11 – не является высказыванием, так как не ясно, о каком треугольнике идет речь, а поэтому мы не можем сказать истинно это предложение или ложно. Для того, чтобы можно было сделать вывод об истинности или ложности этого предложения, его необходимо уточнить, например, так: “прямоугольник, у которого сумма двух любых углов равна 90⁰, является прямоугольным”. 13,14,15 – не являются высказываниями, так как в предложении 13 ничего не утверждается, т.е. предложение не закончено; предложение 14 может принимать разные логические значения в зависимости от значения коэффициентов a,b и c ; предложение 15, хотя и имеет определенные коэффициенты и утверждает что-либо (о равенстве нулю левой части выражения), но сказать что-нибудь о его истинности или ложности мы не можем, не решив его.

Подраздел 1.2

1. 1) “Студент Петров изучает английский язык и не успевает по математической логике”;

2) “Студент Петров не изучает английский язык или успевает по математической логике”;

3) “Если студент Петров изучает английский язык, то он успевает по математической логике”;

4) “Студент Петров не успевает по математической логике тогда и только тогда, когда он не изучает английский язык ”.

2. 4) “Неверно, что число 30 делится на 3 и делится на 5”;

6) “Неверно, что число 30 делится на 3 или на 5”;

8) “Если число 30 делится на 3 и на 5, то оно делится на 15”;

9) “Если число 30 делится на 3 или на 5, то оно делится на 15”;

10) “Если число 30 делится на 3 или на 5, то оно не делится на 15”;

11) “Неверно, что число 30 не делится на 3 или делится на 5”;

12) “Если неверно, что число 30 делится на 3 и на 5, то число 30 делится на 15”;

13) “ Число 30 делится на 3, и неверно, что если число 30 делится на 5, то оно делится на 15”;

14) “Если неверно, что число 30 не делится на 3 и не делится на 5, то оно делится на 15”;

15) “Неверно, что если число 30 делится на 3 или на 5, то оно делится на 15”;

16) “Число 30 делится на 3 и на 5 тогда и только тогда, когда оно делится на 15”;

17) “Для того, чтобы неверным было утверждение, что 30 делится на 3 и на 5, необходимо и достаточно, чтобы 30 делилось на 15”;

18) “Число 30 делится на 3, и неверно, что 30 делится на 5 тогда и только тогда, когда оно делится на 15”;

19) “Для того, чтобы было неверным высказывание, что число 30 не делится на 3 и на 5, необходимо и достаточно, чтобы 30 делилось на 15”;

20) “Неверно, что 30 делится на 3 и на 5 тогда и только тогда, когда оно делится на 15”.

3. Импликации 1), 3) и 4) истинны, а 2) – ложна.

4. 1), 3), 4), 6), 7) и 8) – истинны, 2) и 5) – ложны.

5. Высказывания 1), 3), 4), 7) – ложны; 2), 5), 6) и 8) – истинны.

6. 1) – ложно, так как по условию эквивалентность – истинна, а это в соответствии с таблицей истинности для эквивалентности может быть только тогда, когда оба высказывания будут одновременно истинными или ложными. То есть, имеем два случая: и . Подставляя первый и второй случаи в эквивалентность , будем иметь , , т.е. при заданных условиях эквивалентность .

2) – ложно (здесь нужно применить те же рассуждения, что и в предыдущем случае).

3) – истинно, так как при , какое бы логическое значение ни принимало . Импликация в соответствии с таблицей истинности равна 0, когда левое относительно символа “ ” высказывание равно 1, а правое – 0. Во всех остальных случаях импликация равна 1. У нас посылка равна 0, поэтому, какое бы логическое значение ни принимало следствие, импликация будет равна 1.

4) – истинно (использовать те же рассуждения, что и в предыдущем случае).

5) – ложно; 6) – истинно; 7) – истинно; 8) – истинно.