3.5. Равносильные формулы логики предикатов
1. Две формулы A и B логики предикатов называются равносильными на области M, если они принимают одинаковые логические значения для всех значений, входящих в них переменных, принадлежащих области M.
2. Две формулы A и B логики предикатов называются равносильными, если они равносильны на всякой области.
Как и в алгебре
логики, для равносильности формул
используют обозначение
.
К сказанному нужно добавить, что все равносильности алгебры логики будут верны, если в них вместо высказываний подставить формулы логики предикатов. В логике предикатов, кроме равносильностей, аналогичных равносильностям алгебры логики, имеются еще собственные равносильности, не имеющие аналогов в алгебре логики. Эти дополнительные равносильности обусловлены кванторными операциями. Приведем основные из этих равносильностей. Пусть A(x) и B(x) переменные предикаты, а C переменное высказывание, тогда имеют место следующие равносильности:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
– эта равносильность свиде-тельствует
о том, что квантор всеобщности можно
вносить и выносить за скобки в конъюнкции;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
.
Равносильности 6 8 говорят о том, что переменное высказывание можно вносить под знак квантора всеобщности и выносить из-под знака этого квантора в конъюнкции, дизъюнкции и импликации.
Несколько особой в этом смысле является равносильность 9. В ней переменное высказывание вносится под квантор (правая часть этой равносильности), а выносится квантор (левая часть этой равносильности). Покажем, что это правильно, и одновременно отметим, что в некоторых учебных пособиях ошибочно в этой равносильности переменное высказывание вносится и выносится из-под одного и того же квантора :
.
Последняя формула получена на основании равносильности 7. Далее:
10)
,
т.е. квантор существования можно вносить
и выносить за скобки в дизъюнкции;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
.
Равносильности 11 13 говорят о том, что переменное высказывание можно вносить под знак квантора существования и выносить из-под этого квантора в конъюнкции, дизъюнкции и импликации.
Так же, как и
равносильность 9, равносильность 14
является особой. В ней переменное
высказывание вносится под квантор
,
а выносится из-под квантора
.
Покажем, что это действительно так:
.
На основании равносильности 12 имеем
.
15)
;
16)
.
Приведем обоснование
некоторых из этих равносильностей.
Однако сразу же нужно отметить, что
если в алгебре логики для установления
равносильности двух формул мы использовали
либо алгебраическое преобразование
формул, либо строили для них таблицы
истинности, то в алгебре предикатов
такой подход не приемлем. Это объясняется
тем, что в алгебре логики можно было
легко перебрать всевозможные наборы
логических значений высказываний, так
как каждое из них принимает всего два
значения: 0 либо 1. В алгебре предикатов
логическое значение предиката зависит
уже от переменных, принимающих значения
не из множества
,
а из множеств различной природы, в том
числе из бесконечных дискретных и
непрерывных множеств. Построить же
такие таблицы истинности невозможно,
так как такие таблицы должны иметь
неограниченные размеры.
Поэтому в алгебре предикатов при установлении тех или иных их свойств в основном пользуются непосредственными рассуждениями, применяя аксиомы и законы алгебры логики.
Так, равносильность
1 означает тот простой факт, что если не
для всех x
истинно A(x),
то существует x
, при котором будет истинным противоположный
предикат
.
Аналогично равносильность 2 означает тот простой факт, что если не существует , при котором истинно A(x), то для всех будет истинным противоположный предикат .
Равносильности 3 и 4 получаются из равносильностей 1 и 2 соответственно, если над обеими их частями выполнить операцию отрицания, а затем воспользоваться законом двойного отрицания:
;
.
Приведем рассуждения,
обосновывающие равносильность 5. Если
оба предиката A(x)
и B(x)
тождественно истинные, то будет
тождественно истинным и предикат
,
а поэтому будут истинными высказывания
;
.
Эти два высказывания являются соответственно левой и правой частями равносильности 5, т.е. в этом случае обе части равносильности 5 принимают значение “истина”. Но может быть и другой случай, когда хотя бы один из предикатовA(x) или B(x) будет не тождественно истинным. Пусть, например, A(x) не тождественно истинный предикат. Тогда не тождественно истинным будет и предикат , а поэтому будут ложными и высказывания
,
и
,
т.е. и в этом случае обе части равносильности 5 принимают одинаковые (ложные) значения. Рассмотренные два случая представляют всевозможные “комбинации” логических значений высказываний, входящих в левую и правую части равносильности 5, которые являются одновременно или истинными, или ложными. А это и означает их равносильность.
Еще более “длинно” доказывается равносильность формул, содержащих переменные высказывания и предикаты. Здесь надо проанализировать логические значения формул при двух логических значениях переменного высказывания и определенных предположениях о логических значениях предикатов и высказываний, полученных путем связывания переменных кванторами. Таковыми, например, являются равносильности 8, 9, 13 и 14.
Докажем равносильность
8. Пусть переменное высказывание
принимает значение “ложь”. Тогда
тождественно истинным будет предикат
,
так как в таком случае исключается из
рассмотрения единственная импликация
,
когда она принимает ложное значение.
Очевидно, что истинными будут и
высказывания
и
(по тем же причинам). То есть в этом
случае обе части равносильности 8
принимают одинаковые логические значения
“истина”.
Пусть теперь
переменное высказывание C
принимает значение “истина”. Если при
этом предикат B(x)
является тождественно истинным, то
будет тождественно истинным и предикат
(так как
), а значит, истинными будут и высказывания
,
и
.
Таким образом, и в этом случае обе части
равносильности 8 принимают одинаковые
истинные значения.
Осталось рассмотреть
один случай, когда предикат B(x)
не является тождественно истинным.
Тогда не будет тождественно истинным
и предикат
,
так как
,
а
,
а поэтому ложными будут и высказывания
,
,
.
Следовательно, и в этом случае обе части равносильности 8 принимают одинаковые (ложные) значения. Таким образом, мы установили, что левая и правая части равносильности 8 принимают во всех случаях одинаковые логические значения, или, иначе, равносильность 8 истинна.
Аналогично доказываются и остальные из перечисленных равносильностей.
Особый интерес
представляют две последние равносильности
–15 и 16. Казалось бы, что в дизъюнкции,
образованной двумя высказываниями,
каждое из которых получено путем
применения квантора
,
последний можно вынести за скобку. Но
оказывается, что
,
аналогично в конъюнкции
,
т.е. в таких формулах нельзя выносить
за скобки и вносить в них кванторы
и
!
Однако левую часть
каждой из этих неравносильностей можно
видоизменить так, что вынесение
кванторов за скобки станет возможным.
Для этого нужно предварительно
переименовать переменные. Это можно
делать, так как обозначение переменной
в предикате произвольно. Поэтому
высказывания
и
равносильны.
Далее, анализируя равносильности 5, 6 и 7, видим, что квантор выносится за скобку, когда он применяется к предикату с той переменной, на которую он же и указывает, или к переменному высказыванию, у которого переменной нет.
Таким образом, можно записать последовательность равносильных преобразований:
.
Этим, собственно говоря, и доказывается равносильность 15.
Точно так же доказывается равносильность 16. Только в этом случае следует обратить внимание на равносильности 10, 11 и 12, указывающие на то, в каких случаях можно выносить за скобки квантор существования .
Исходя из этого, можно записать последовательность равносильных преобразований:
.
Это и доказывает равносильность 16.