3.2. Логические операции над предикатами
Поскольку понятие
предиката является обобщением понятия
высказывания, то к ним применимы все
операции логики высказываний. Рассмотрим
логические операции на примерах
одноместных предикатов. Пусть на
некотором множестве
определены два одноместных предиката
и
.
Отрицанием
предиката
называется новый предикат
,
который принимает значение “истина”
при всех значениях
,
при которых предикат
принимает
значение “ложь”, и принимает значение
“ложь” при тех значениях
,
при которых предикат
принимает значение “истина”.
Из этого
определения следует, что множеством
истинности
предиката является разность множеств
и
,
где
− множество истинности предиката
,
что записывается так:
.
Конъюнкцией
двух предикатов
и
называется новый предикат
,
который принимает значение “истина”
при тех значениях
,
при которых оба эти предиката принимают
значение “истина” и принимают значение
“ложь” во всех остальных случаях.
Множеством
истинности предиката
является общая часть множеств истинности
предикатов
и
,
т.е. пересечение
.
Так, например, для предикатов
− “
− четное число ” и
− “
− кратно 5”, определенных на
,
конъюнкцией
является предикат “
− четное
число и
− кратно
5”. Так как IP
=
{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,…},
,
то множество истинности
.
Дизъюнкцией
двух предикатов
и
называется новый предикат
,
который принимает значение “ложь”
при тех значениях
,
при которых каждый из предикатов
принимает значение “ложь”, и принимает
значение “истина” во всех остальных
случаях.
Очевидно, что
множеством истинности предиката
является объединение множеств истинности
предикатов
и
,
т.е.
.
Так, для тех же предикатов, что и в выше
приведенном примере, их дизъюнкцией
будет предикат “
− четное
число или
кратно 5”, множество истинности которого
есть
.
Импликацией
предикатов
и
называется новый предикат
,
который является ложным при тех значениях
,
при которых предикат
принимает значение “истина”, а предикат
− значение “ложь” и принимает
значение “истина” во всех остальных
случаях.
Множество истинности
этой импликации определяется из
следующих рассуждений:
следовательно
.
Так, для предикатов
− “
кратно 4” и
− “
– четное
число”, определенных на
,
импликацией
является предикат словесная формулировка
которого будет: “если
кратно 4, то
– четное число. Так как
,
,то
т.е. все натуральные числа.
Упражнения
1. Среди следующих
предложений выделить предикаты и для
каждого из них указать множество
истинности, если
(действительные числа) для одноместных
предикатов и
для двухместных предикатов:
1)
;
2) при
выполняется равенство
;
3)
;
4) существует такое число , что ;
5)
;
6) однозначное число кратно 3;
7)
8)
2. Выясните, какие из следующих предикатов являются тождественно истинными:
1)
2)
3)
4)
5)
3. Пусть даны
предикаты
“
четное
число” и
“
кратно 3”, определенные на множестве
.
Найти множества истинности предикатов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5) .
4. Даны предикаты
− “
”
и Q(x)
− “
”.
Найдите множества истинности этих
предикатов, если их область определения
есть:
1)
(действительные
числа); 2)
(натуральные числа).
5. На множестве
заданы предикаты:
−
“
не делится на 5”;
− “
− четное число”;
− “
− простое число”;
−
“
кратно 3”.
Найдите множества истинности следующих предикатов:
1)
;
2)
; 3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
9)
10)
;
11)
.