Вопросы для самоконтроля

1. Какая запись является формулой в исчислении высказываний?

2. Запишите аксиомы исчисления высказываний.

3. Сформулируйте правило подстановки и правило одновременной подстановки.

4. Сформулируйте правило заключения и правило сложного заключения.

5. Что понимается под термином «доказуемость» в исчислении высказываний. Дайте определение доказуемой формулы.

6. Сформулируйте и запишите правило силлогизма.

7. Сформулируйте и запишите правило контропозиции.

8. Сформулируйте и запишите правило снятия двойного отрицания.

9. Дайте определение выводимо формулы.

10. Что называется выводом из совокупности формул H?

11. Сформулируйте и запишите теорему дедукции.

12. Запишите обобщенную теорему дедукции и приведите ее доказательство.

13. Запишите правило введения конъюнкции.

14. Запишите правило введения дизъюнкции.

15. Перечислите четыре основных проблемы исчисления высказываний и прокомментируйте их.

16. Докажите тождественную истинность аксиомы I₂.

17. Докажите тождественную истинность аксиомы II₃.

18. Докажите тождественную истинность аксиомы III₃.

19. Докажите тождественную истинность аксиомы IV₄.

3. Логика предикатов

3.1. Понятие предиката

Как отмечалось в вводной части предыдущего раздела, основным предназначением исчисления высказываний является формализация способов логических рассуждений, позволяющих в компактной форме из одних высказываний получать другие, используя определенные логические операции. При этом учитывается лишь структура связей между высказываниями и совершенно игнорируется смысловое содержание самих высказываний. Другими словами, исчисление высказываний рассматривает каждое высказывание как единое целое, не разделяя его на составные части – подлежащее и сказуемое, как это делается в грамматике естественного, например русского, языка.

Часто это приводит к тому, что участвующие в логических операциях высказывания по смыслу могут быть совершенно не связанными между собой, и, тем не менее, полученные из них новые сложные высказывания будут правильными с точки зрения исчисления высказываний, хотя и абсурдными с точки зрения естественного языка. Так, например, высказывание “если число 15 делится на 3, то каждый день начинается с восхода солнца” является законным с точки зрения исчисления высказываний, но абсурдным с точки зрения естественного языка, так как составляющие его простые высказывания никак не связаны по смыслу (по содержанию).

В то же время в науке и практике существуют такие заключения, которые существенным образом зависят не только от структуры, но и от содержания используемых в них высказываний. Например, из двух высказываний “всякая дифференцируемая функция является непрерывной” и “функция является дифференцируемой” средствами исчисления высказываний нельзя вывести третье высказывание “функция является непрерывной ”, хотя средствами формальной логики, т.е. с помощью естественного языка, это делается без особых затруднений.

Это говорит о том, что изобразительные средства исчисления высказываний недостаточны для того, чтобы делать подобные заключения. Символика исчисления высказываний бедна и не позволяет выражать смысловое содержание высказываний.

Значительно большими возможностями обладает другая логическая теория – алгебра предикатов и соответственно исчисление предикатов (всё вместе взятое называют логикой предикатов). В логику предикатов алгебра логики (алгебра высказываний) и исчисление высказываний входят как составные части. Поэтому все законы алгебры логики и исчисления высказываний действуют в логике предикатов. К тому же, мы вновь возвращаем высказываниям понятия истинности и ложности.

Логика предикатов расчленяет простое высказывание на субъект (подлежащее, дополнение) и предикат (сказуемое, определение).

Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании. Предикат – это то, что именно утверждается о субъекте. Например, в высказывании “12 – составное число” “12” – субъект, “ составное число” – предикат. Это высказывание утверждает, что “12” обладает свойством быть составным числом.

Если в приведенном примере заменить конкретное число 12 переменной из множества натуральных чисел, то получим так называемую высказывательную форму: “ _– составное число”. Обратим внимание, что в данном примере при замене числа 12 на мы получим повествовательное предложение, о котором не можем определенно сказать, истинно оно или ложно. Следовательно, это предложение не подпадает под определение высказывания, поэтому и говорят, что предложение имеет высказывательную форму, а соответствующее переменное называют высказывательным переменным (пропозициональным, об этом уже говорилось в подразд.2.1).

Вместе с тем, если переменной мы придадим некоторые конкретные значения, например, , то эта высказывательная форма даст ложные высказывания, а при других значениях ( , ) эта форма даст истинные высказывания. Отсюда ясно, что эта высказывательная форма является функцией одной переменной , определенной на множестве N (натуральных чисел) и принимающей значения из множества , т.е. значения истины или лжи.

Из изложенного выше вытекают следующие определения.

Определение 1. Одноместным предикатом называется произвольная функция переменной , определенная на некотором множестве и принимающая значения из множества .

Множество , на котором определен предикат , называется областью определения предиката.

Множество всех элементов , при которых предикат принимает значение “истина”, называется множеством истинности этого предиката. Символически множество истинности предиката записывают так: . Эта запись означает, что множество состоит из элементов, обладающих свойством, указанным после двоеточия.

Так, предикат – “ – составное число” определен на множестве (всех натуральных чисел), а множество для него есть множество всех составных чисел.

Другой предикат − “диагонали параллелограмма перпендикулярны” определен на множестве всех параллелограммов, а его множеством истинности является множество всех ромбов.

Нетрудно заметить, что приведенные примеры одноместных предикатов выражают свойства предметов.

Определение 2. Предикат , определенный на множестве , называется тождественно истинным (тождественно ложным), если .

Обобщением понятия одноместного предиката является понятие -местного предиката, с помощью которого выражается отношение между предметами. Так, примером бинарного отношения (отношение между двумя предметами) является отношение “меньше”. Пусть это отношение рассматривается на множестве целых чисел. Тогда оно может быть охарактеризовано высказывательной формой “ _”, где , т.е. является функцией двух переменных , определенной на множестве с множеством значений .

Здесь множество является частным случаем декартова произведения двух множеств и .

Определение 3. Двухместным предикатом называется функция двух переменных и , определенная на множестве и принимающая значение из множества . Примерами двухместных предикатов являются: предикат равенства ─ “ ”, определенный на множестве действительных чисел , предикат делимости нацело ” ”, определенный на множестве .

Таким образом, предикат – это функция или, как мы уже говорили выше, высказывательная форма. Если, например, в высказывательную форму мы подставим вместо и какие-то конкретные значения, то высказывательная форма становится высказыванием, принимающим вполне определенные значения истины или лжи (1 или 0). Так, есть предикат (высказывательная форма), но уже является истинным высказыванием, а − ложным высказыванием. В то же время является высказывательной формой (предикатом), так как его значение истинности зависит от того, каким натуральным числом будет заменена переменная (т.е. является функцией от , а значит, предикатом). В то же время является высказыванием, причем истинным, так как любое делится на единицу.

Еще несколько замечаний о терминологии. Иногда вместо термина “ -местный предикат” употребляют термин “ -арный предикат”. При этот предикат называется унарным (от лат. unio ─ единение, единый), при − бинарным (от лат. binaries − двойной) и при − тернарным (от лат. tertia – третья).

Для общности еще вводят понятие 0-арного предиката, под которым понимается любое истинное или ложное высказывание. Такое определение логично, если вспомнить, что в определении высказывания нет переменной, а в определении предиката она есть. Тогда некоторое предложение мы можем называть 0-арным предикатом, если в нем отсутствуют переменные.