2.6. Понятие вывода
Выводом из конечной
совокупности формул Н
называется всякая конечная последовательность
формул
,
всякий член которой удовлетворяет
одному из следующих трех условий:
он является одной из формул совокупности Н;
он является доказуемой формулой;
он получается по ПЗ (для доказуемых и выводимых формул) из двух любых предшествующих членов последовательности .
Из определения выводимой формулы и вывода из совокупности формул Н следуют свойства вывода:
всякий начальный отрезок вывода из совокупности Н есть вывод из Н;
если между двумя соседними членами вывода из Н (в начале или в конце) вставить некоторый вывод из Н, то полученная новая последовательность формул будет выводом из Н. Например, если совокупности формул
и
являются выводами из Н,
то совокупность
,
является
тоже выводом из Н.всякий член вывода из совокупности Н является формулой, выводимой из Н;
если
(
− знак
включения, читается: “множество Н
включено в множество W
“ или “Н
содержится в W
“), то всякий
вывод из совокупности Н
является и выводом из совокупности W.для того чтобы формула В была выводима из совокупности формул Н, необходимо и достаточно, чтобы существовал вывод этой формулы из Н.
При установлении доказуемости формул мы использовали аксиомы и вполне определенные правила вывода. Аналогично этому при получении формул, выводимых из совокупности Н, кроме определения выводимой формулы нужно использовать какие-то правила, пользуясь которыми можно было бы получать эти формулы. В отличие от правил вывода, используемых при установлении доказуемости формул, здесь также используются определенные правила, которые мы будем называть правилами выводимости.
2.7. Основные правила выводимости
I.
.Это
правило следует из того простого
рассуждения, что если мы можем получить
формулу A
из совокупности Н,
то из расширенной совокупности Н,W
мы тем более получим формулу А.
II.
Это почти очевидное правило мы, тем не
менее, докажем. Так как по условию из
совокупности формул Н,С
выводима формула А,
то существует вывод из Н,С,
последней формулой которого является
А:
(1)
Так как по условию из совокупности формул Н выводима формула С, то существует вывод из Н, последней формулой которого является С:
(2)
Если в выводе (1) отсутствует формула С, то он является выводом
только из совокупности Н и, значит, А выводима из H.
Если же в выводе
(1) одна из формул есть формула С,
например формула
,
то, вставив между формулами
и
вывод формулы (2), являющейся выводом из
Н,
в результате получим вывод из Н,
С
(3)
Так как в вывод (3) входит вывод (2) из Н, а в оставшуюся часть вывода
(4)
Формула С не входит, то вывод (4) является выводом только из Н.
На основании же свойства 2 вывода вывод (3) тоже будет выводом только из Н. Поэтому и в этом случае формула А выводима из Н, что и требовалось доказать.
Ш.
Доказательство.
Так как
,
то по правилу I
имеем
Так как
то также по правилу I
имеем
.
Используя
теперь правило II,
получаем
Для правил
выводимости II
и III
можно предложить более простые и
компактные доказательства. Докажем
правило II,
воспользовавшись следующими соображениями.
Запись
означает, что для того, чтобы вывести
С,
нужно иметь совокупность формул Н.
Значит, в записи
одну формулу С
можно заменить
на совокупность формул Н,
поэтому можно записать:
.
Но дважды используемое одно и то же
множество Н
есть, очевидно, одно множество Н.
То есть верна формула
,
а это и требовалось доказать.
Правило выводимости
III
доказывается аналогичным образом с той
лишь разницей, что здесь не приходится
заменять дважды используемое одно и то
же множество на одно множество. Заменим
в
множество С
на W,
тогда
что и требовалось доказать.
Подобным образом можно доказать также частный случай для правила выводимости III, т.е.
III
Доказательство.
Заменим в
множество С
на Н,W,
тогда
Но совокупность множеств Н,
Н
есть одно множество Н,
т.е.
что и требовалось доказать.
IV.
Доказательство.
Так как из Н
выводима формула
,
то существует вывод из Н,
конечной в котором является формула
:
(1)
Присоединим теперь к совокупности формул Н формулу С. Получим совокупность формул Н, С. Добавляя на основании пункта 1 понятия вывода к выводу (1) формулу С, мы получим вывод
,
(2)
который является выводом из Н, С.
Но в конец вывода
(2) можно дописать формулу А,
которая получается из формул С
и
согласно ПЗ (пункт 3) понятия вывода.
Отсюда имеем вывод из совокупности Н,
С
,
последней формулой
которого является формула А.
Значит,
,
что и требовалось доказать.
V.
−
теорема
дедукции (ТД).
Ввиду громоздкости доказательства приводить его не будем. Отметим лишь, что теорема дедукции по форме является обратной по отношению к правилу IV.
VI.
−
обобщенная теорема дедукции (ОТД).
Словесную
формулировку этой теоремы можно записать
так: если формула А
выводима из совокупности формул
то
доказуема формула
.
Доказательство.
Обозначим через
совокупность
формул
т.е.
По условию,
или, что то же самое,
.
Но тогда согласно теореме дедукции
справедливо утверждение
.
Так как
,
то справедливо утверждение
.
Опять, используя теорему дедукции, получим
Проделав эту процедуру k раз, мы придем к утверждению
Но из пустого
множества выводимы только доказуемые
формулы, т.е.
VII.
–
правило введения конъюнкции.
Доказательство. По условию
(1)
(2)
Как было показано
ранее (см. подразд. 2.5), из совокупности
формул
выводима конъюнкция
т.е.
(3)
Используя правило выводимости I, можно записать:
(4)
(5)
Теперь, используя правило II выводимости, из (4) и (5) получаем
(6)
Таким же образом
по правилу II
из (1) и (6) получаем искомое:
.
VIII.
−
правило введения дизъюнкции.
Доказательство.
Из условий
и
по теореме дедукции имеем
(1)
(2)
Возьмем аксиому
.
Она выводима из совокупности Н
как доказуемая формула, т.е.
(3)
Применяя к формулам (1), (2) и (3) правило сложного заключения, получим
Используя теперь
правило выводимости IV,
получим
,
что и требовалось доказать.