Тогда правило подстановка схематически запишется так
.
Читается эта запись следующим образом: “Если формула доказуема, то доказуема и формула ”.
2. Правило заключения (ПЗ – modus ponens)
Если формулы
и
доказуемы в исчислении высказываний,
то формула
также доказуема. Схематическая запись
этого правила имеет вид
2.3. Определение доказуемой формулы
Исходя из приведенных в предыдущем подразделе 11 аксиом и 2 простейших правил вывода, уточним понятие доказуемой формулы.
а) всякая аксиома является доказуемой формулой;
б) формула, полученная из доказуемой формулы путем применения правила подстановки, есть доказуемая формула;
в) формула
,
полученная из доказуемых формул
и
путем применения правила заключения,
есть доказуемая формула;
г) никакая другая формула исчисления высказываний не считается доказуемой.
Процесс получения доказуемых формул называют доказательством.
Рассмотрим примеры получения доказуемых формул.
1. Доказать, что
(эту формулу называют рефлексивностью
импликации).
Воспользуемся
аксиомой
и выполним
подстановку
.
Тогда получим
(1)
Применяя правило
заключения к аксиоме
и
формуле (1), получим
(2)
В формуле (2)
осуществим подстановку
В результате получим доказуемую формулу
(3)
Применяя правило заключения к аксиоме IV2 и формуле (3), получим
(4)
Наконец, осуществив
подстановку в формуле (4) вместо
формулы
,
получим
2. Доказать, что
.
Возьмем аксиому
и выполним в ней последовательно две
подстановки, заменяя сначала
на
,
а затем
на
.
В результате получим доказуемую формулу
(1)
Выполнив подстановку
,
получим
(2)
Покажем, что формулы
;
(3)
(4)
доказуемы.
Возьмем аксиому
и выполним подстановку
в результате
получим
(5)
Применяя к аксиоме
и формуле (5) правило заключения, получаем,
что формула (3) доказуема.
Возьмем аксиому
и в ней переобозначим
на
и
на
,
тогда она примет вид
Для нее выполним подстановку
и получим
(6)
Применяя к аксиоме III2 и формуле (6) правило заключения, устанавливаем доказуемость формулы (4).
Применяя правило заключения к формулам (3) и (2), получим доказуемую формулу
(7)
Применяя правило заключения к формулам (4) и (7), получим доказуемость исходной формулы.
2.4. Производные правила вывода
Кроме двух простейших правил вывода, рассмотренных выше, используются и производные правила вывода (более сложные). Они получаются путем использования простейших правил вывода и понятия доказуемой формулы. Рассмотрим эти правила.
1.
Правило одновременной подстановки
(ПОП). Пусть
− доказуемая формула,
−
переменные,
−
любые формулы исчисления высказываний.
Тогда результат одновременной подстановки
в
вместо
соответственно формул
является доказуемой формулой. Схематично
операция одновременной подстановки
записывается так:
.
Справедливость этой операции очевидна, поэтому доказывать ее не будем.
2.
Правило сложного заключения (ПСЗ).
Это правило применяется к формулам вида
и
формулируется так: если формулы
и
доказуемы,
то доказуема и формула
.
Схематически это правило записывается так:
ПСЗ легко доказывается
последовательным применением ПЗ.
Действительно, если формулы
и
доказуемы, то согласно ПЗ доказуема
формула
.
Но так как формулы
и
доказуемы,
то доказуема и формула
Продолжая эти рассуждения, мы докажем, наконец, что формула L доказуема.
3.
Правило
силлогизма
(слово силлогизм
греческое и означает дедуктивное
логическое умозаключение).
Если доказуемы формулы
и
,
то доказуема формула
т.е.
Это правило
аналогично свойству транзитивности в
обычной алгебре: если
то
Докажем справедливость правила силлогизма. Для этого сделаем следующие одновременные подстановки:
и
Получим доказуемые формулы
(1)
(2)
Кроме того, по условию
(3)
(4)
Из формул (4) и (2) согласно ПЗ получаем
(5)
Но тогда из формул (5), (3) и (1) согласно ПСЗ получаем
,
что и требовалось доказать.
4.
Правило
контрпозиции.
Если доказуема формула
,
то доказуема и формула
,
т.е.
Доказательство. Сделаем одновременную подстановку
в результате
получаем
(1)
Но по условию доказуема формула
(2)
Из формул (2) и (1)
согласно ПЗ имеем
,
что и требовалось доказать.
5.
Правило
снятия двойного отрицания (ПСДО).
Если доказуема формула
,
то доказуема и формула
т.е.
Если доказуема
формула
,
то доказуема формула
т.е.
Доказательство. Выполним подстановки
и
,
получим
(1)
(2)
Но по условию
(3)
(4)
Таким образом, из
формул (3) и (2) по правилу силлогизма
получаем
,
а из формул (1) и (4) по тому же правилу
получаем
,
что и требовалось доказать.