2.1. Понятие формулы исчисления высказываний

Описание всякого исчисления включает в себя описание символов этого исчисления (алфавит), и формул, являющихся конечными конфигурациями символов, а также определение выводимых (доказуемых) формул.

Алфавит исчисления высказываний состоит из символов трех категорий.

1.Символы Символами

в исчислении высказываний обычно обозначают переменные высказывания, а символами _¯ постоянные высказывания. В чем различие между постоянными и переменными высказываниями? Постоянное высказывание – фиксировано, т.е. если мы обозначим буквой высказывание “число ”, то этой буквой никакое другое высказывание обозначить мы уже не можем. Если же мы обозначим буквой какое-нибудь высказывание, например: “сумма углов треугольника равна 180⁰”, то этой же буквой мы можем обозначить любое другое высказывание. Поэтому и называют переменным высказыванием; и чтобы отличать постоянное высказывание от переменного, последнее иногда называют высказывательным переменным.

2. Символы логических операций которые, как и в алгебре логики называются соответственно отрицанием, конъюнкцией, дизъюнкцией и импликацией.

3. Круглые скобки

Для сокращения обозначения высказываний будем также пользоваться большими буквами латинского алфавита. Эти буквы не являются символами исчисления высказываний. Они представляют собой только условные обозначения высказываний.

Дадим теперь определение формулы исчисления высказываний:

1) всякое переменное или постоянное высказывание является формулой,

2) если А и В – формулы, то предложения

– также формулы,

3) никакая другая последовательность символов не является формулой.

Таким образом, если и – формулы, то предложения – тоже формулы. Формулами будут также предложения Очевидно, что предложения не являются формулами.

В исчислении высказываний, так же как и в алгебре логики, для сокращения записи формул вводятся упрощения, а именно: опускаются скобки с учетом такого же приоритета выполнения операций. Так, вместо будем писать соответственно.

Упражнения

1. Какие из следующих предложений являются формулами исчисления высказываний:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

2. Опустить скобки, если это можно, в формулах из предыдущего задания.

2.2. Аксиомы и простейшие правила вывода

Исчисление высказываний опирается на 11 аксиом и 2 простейших правила вывода. Все аксиомы являются правильными сложными высказываниями. Они разделены на 4 группы.

Система аксиом исчисления высказываний

Первая группа аксиом:

I₁

I₂

Вторая группа аксиом:

II

II

II

Третья группа аксиом:

II

II

II

Четвертая группа аксиом:

IV

IV

IV

Одним из важнейших понятий исчисления высказываний является понятие доказуемой формулы. Сначала определим это понятие как интуитивное, которое будет необходимо для определения двух простейших правил вывода. Под доказуемой формулой будем понимать формулу, получаемую из аксиом путем применения некоторых правил вывода. Теперь определим простейшие правила вывода.

1. Правило подстановки

Если формула доказуема в исчислении высказываний, – переменное высказывание (в дальнейшем будем говорить и писать просто переменная), – любая формула исчисления высказываний, то формула, полученная в результате замены всюду в формуле переменной формулой _, является также доказуемой формулой.

Это правило носит название правила подстановки и символически записывается так:

Уточним это правило:

а) если формула есть переменная , то подстановка

дает _B;

б) если формула есть переменная отличная от x, то подстановка

дает_A;

в) если – формула, для которой подстановка уже определена, то подстановка вместо в отрицание есть отрицание подстановки, т.е.

дает например: дает

дает

г) если и – формулы, для которых подстановки уже определены, то

дает где * ─ символ операции.

Если – доказуемая формула, то будем писать: .