
- •Введение
- •1. Основные сведения из формальной логики
- •1.1. Введение в формальную логику
- •1.2. Формы познания человеком окружающего мира
- •1.3. Формы абстрактного мышления
- •«Все s есть p»,
- •«Если s есть p, то s есть p1».
- •1.4. Содержательное описание основных законов классической формальной логики и границы их применимости
- •1.5. Способы правильных умозаключений, обусловленных основными законами формальной логики.
- •1.6. Правильные способы рассуждений, основанные на теории силлогизмов
- •Вопросы для самоконтроля
- •2. Элементы теории множеств
- •2.1. Понятие множества. Способы задания множеств
- •Упражнения
- •2.2. Части множеств
- •2.2.1. Понятие подмножества
- •2.2.2. Множество-степень
- •2.2.3. Понятие о верхней и нижней гранях множеств
- •2.3. Операции над множествами.
- •2.4. Основные свойства операций над множествами
- •2.5. Отношения на множествах
- •2.5.1. Операции над отношениями
- •2.5.2. Основные свойства отношений
- •2.6. Функции как отношения на множествах
- •2.7. Отношения эквивалентности
- •2.8. Отношения порядка
- •Упражнения
- •Парадоксы теории множеств
- •Вопросы для самоконтроля
- •1. Алгебра логики
- •Понятие о простом и сложном высказывании
- •Упражнения
- •Логические операции над высказываниями
- •Упражнения
- •Упражнения
- •1.4. Аксиомы и законы алгебры логики
- •1.4.1. Правила склеивания для элементарных конъюнкций и дизъюнкций
- •Дизъюнкций
- •1.4.3. Правило развёртывания
- •Все ке для двух высказываний
- •Развёртывание элементарной дизъюнкции
- •Упражнения
- •1.5. Функции алгебры логики. Нормальные формы логических функций
- •Общая запись любой логической функции в сндф имеет вид
- •Пример. По заданной таблице истинности составить сндф функций
- •Снкф для выше приведенной таблицы истинности будут иметь вид
- •Упражнения
- •1.6.Минимизация логических функций
- •1.6.1. Расчетный метод минимизации
- •1.6.2. Табличный метод минимизации
- •1.6.3. Расчетно-табличный метод минимизации (метод Квайна)
- •Упражнения
- •1.7. Некоторые применения алгебры логики
- •Упражнения
- •Вопросы для самоконтроля
- •2. Исчисление высказываний
- •2.1. Понятие формулы исчисления высказываний
- •Упражнения
- •2.2. Аксиомы и простейшие правила вывода
- •Система аксиом исчисления высказываний
- •Тогда правило подстановка схематически запишется так
- •2.3. Определение доказуемой формулы
- •Рассмотрим примеры получения доказуемых формул.
- •2.4. Производные правила вывода
- •Упражнения
- •2.5. Определение формулы, выводимой из совокупности формул н
- •2.6. Понятие вывода
- •2.7. Основные правила выводимости
- •2.8. Доказательство некоторых законов логики
- •2.9. Проблемы аксиоматического исчисления высказываний
- •Вопросы для самоконтроля
- •3. Логика предикатов
- •3.1. Понятие предиката
- •3.2. Логические операции над предикатами
- •Упражнения
- •Кванторные операции
- •Упражнения
- •Определение формулы логики предикатов
- •3.5. Равносильные формулы логики предикатов
- •Упражнения
- •3.6. Предварённая нормальная форма
- •Выполнимость и общезначимость формул
- •Упражнения
- •Применение языка логики предикатов в математике и технике
- •Вопросы для самоконтроля
- •4. Основные положения теории алгоритмов
- •4.1. Интуитивное понятие алгоритма
- •4.2. Уточнение понятия алгоритма
- •4.3. Частично-рекурсивные и общерекурсивные функции
- •Упражнения
- •4.4. Машины Тьюринга
- •Упражнения
- •4.5. Понятие о нормальных алгоритмах Маркова
- •4.6. Алгоритмически неразрешимые проблемы
- •4.7. Сложность алгоритмов
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы и решения
- •Раздел 1
- •Подраздел 1.3
- •Раздел 2
- •Раздел 3.
- •Раздел 4
- •Библиографический список
- •Список сокращений
- •Содержание
1.2. Формы познания человеком окружающего мира
Самые первые познания об окружающем мире приходят к человеку через его органы чувств. Воздействуя на них, окружающие предметы вызывают соответствующие ощущения, которые передаются в мозг. Такое познание мира называется чувственной формой познания, которую делят на ощущения, восприятия и представления. Ощущение это отражение отдельных свойств предметов или явлений материального мира, непосредственно воздействующих на наши органы чувств (ощущение кислого, сладкого, теплого).
Восприятие – целостное отражение материального предмета, непосредственно воздействующего на органы чувств (образы самолета, леса и т. д.). Они слагаются из ощущений и, во многом зависят от прошлого опыта. Так, например, первое восприятие яблока ребенком может сложиться из ощущений: круглое, зеленое, кислое, сочное. Но спустя некоторое время у него появится опыт чувственного познания и других свойств яблока: красное, сладкое.
Представление – это чувственный образ предмета, не воспринимаемого в данный момент, но который раннее в той или иной форме воспринимался. Представление может быть воспроизводящим в виде соответствующих образов (места учебы, двора, близких людей) и творческим, в том числе фантастическим.
Посредством чувственного отражения человек познает явление, но не его сущность. Для познания мироздания, сущности предметов и явлений человек использует абстрактное мышление. Оно является более сложной формой познания и отражает мир и протекающие в нем процессы глубже и полнее, чем чувственное познание. В результате перехода от чувственного познания к абстрактному мышлению человек переходит к новому уровню познания: от познания фактов к познанию законов.
Формальная логика, обогащенная опытом чувственного познания, полностью опирается на абстрактное мышление.
1.3. Формы абстрактного мышления
Предметом исследования формальной логики является человеческое мышление. Оно всегда осуществляется в каких-то формах. Выделяют три основные формы: понятия, суждения, умозаключения.
Понятие – форма мышления, в которой отражаются существенные отличительные признаки однородных предметов. Существенными называются признаки, каждый из которых необходим, а все вместе достаточны, чтобы с их помощью отличить данный предмет или явление от всех остальных и сделать обобщение, объединив выделенные предметы в класс.
Понятие имеет две основные логические характеристики: содержание и объем.
Содержание понятия – совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии.
Например, содержанием понятия ромб является совокупность двух существенных признаков: быть параллелограммом и иметь равные стороны.
Объем понятия – совокупность (множество) предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятия.
Например, объем понятия море – совокупность всех морей, носящих имена: Черное, Азовское, Баренцево, Мраморное и т.д.
Суждение – форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях между ними. Они выражаются повествовательными предложениями и могут быть простыми и сложными. Например: «Октябрь уж наступил» – простое суждение, а «Октябрь уж наступил, и роща отряхает последние листы с нагих своих ветвей» – сложное суждение, состоящее из двух простых.
Всякое суждение может быть истинным, либо ложным в зависимости от его содержания. Содержание суждения – это его смысл.
Всякое суждение имеет свою форму, которая отражает способ связи его частей. Например, суждения:
Все реки впадают в море;
Все коровы дают молоко;
Все зебры полосатые
имеют одинаковую логическую форму: