Все ке для двух высказываний
Высказывания |
КЕ |
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Таблица 8
Все КН для двух высказываний
Высказывания |
КН |
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Развёртывание элементарных конъюнкций
1. В развертываемую
элементарную конъюнкцию ранга
вводятся в качестве дополнительных
сомножителей
единиц, где
– число высказываний и
.
2. Каждая единица
представляется в виде
,
где
–
высказывание, отсутствующее в исходной
конъюнкции.
3. Производится
раскрытие всех скобок на основе
распределительного закона 1-го рода,
что приводит к развертыванию исходной
конъюнкции ранга
в логическую сумму
КЕ.
Пример.
Развернуть конъюнкцию
.
Здесь предполагается, что число
высказываний
,
но два из них отсутствуют, тогда:
1.
2.
.
3.
=
.
Развёртывание элементарной дизъюнкции
1. В развертываемую дизъюнкцию ранга вводится n-r нулей.
2. Каждый нуль
представляется произведением
,
где
–
высказывание, отсутствующее в исходной
дизъюнкции.
3. Полученная сумма преобразуется с помощью распределительного закона 2-го рода в логическое произведение КН.
Пример.
Развернуть дизъюнкцию
.
Здесь число высказываний
,
отсутствует высказывание
:
Упражнения
1. Используя алгебраические преобразования, доказать тождественную истинность или тождественную ложность формул:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
.
2. Доказать равносильности формул, не используя таблицы истинности:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
.
3. Упростить формулы:
1)
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
4.Привести следующие
ниже формулы к базиса
1)
;
2)
;
3)
.
5. Развернуть конъюнкцию:
1)
;
2)
Развернуть дизъюнкцию:
3)
;
4)
1.5. Функции алгебры логики. Нормальные формы логических функций
Логическая функция
[функция алгебры логики (ФАЛ)]
–
это выражение, представляющее собой
сложное высказывание, состоящее из
нескольких простых высказываний
,
связанных
соединительными словами. Это сложное
высказывание принимает значения 0 или
1 на всех наборах логических значений
всех простых высказываний.
Как нетрудно заметить, приведенное определение ФАЛ полностью совпадает с определением формулы, данным в подразделе 1.3. Таким образом, всякая формула алгебры логики есть функция алгебры логики, в которой простые высказывания воспринимаются уже как переменные . Это правомочно, так как каждое из них принимает два значения: 0 или 1. А в зависимости от этого логические значения выражения тоже будут принимать значения 0 или 1, т.е. выражение является функцией в общепринятом смысле.
Набор логических
переменных, или, иначе входной набор, –
это определенная комбинация значений
переменных в логической функции.
Максимальное число различных входных
наборов есть величина
,
где
–
число переменных.
Полностью определенная функция – это логическая функция, принимающая значение 0 или 1 на всех входных наборах.
Частично определенная функция – это логическая функция, значения которой определены не на всех входных наборах. Такие наборы называют безразличными.
Частично определенную логическую функцию можно сделать полностью определенной, приписав безразличным наборам произвольные значения: 0 или 1.
Используя законы и аксиомы алгебры логики и их следствия, можно получать логические выражения в различных формах. Среди них имеются такие формы, к которым можно свести любую логическую функцию. Такие формы определяют канонический вид логической функции. В алгебре логики каноническими принято считать нормальную дизъюнктивную форму (НДФ) и нормальную конъюнктивную форму (НКФ) и соответственно совершенную НДФ (СНДФ) и совершенную НКФ (СНКФ).
НДФ – это дизъюнкция нескольких элементарных конъюнкций. Эта форма называется нормальной, так как все ее члены имеет вид элементарных конъюнкций. Вследствие того, что все члены соединены в одну функцию знаком дизъюнкции, форма носит название дизъюнктивной. И, наконец, форма называется совершенной, если её члены имеют высший ранг, являясь конституентами единицы или нуля.