1.4.1. Правила склеивания для элементарных конъюнкций и дизъюнкций
Сначала введем
некоторые понятия. Логическое
произведение
сумма
любого числа высказываний называется
элементарным, если сомножители
слагаемые
в нем являются либо одиночными
высказываниями, либо их отрицаниями.
Например:
–
элементарное произведение,
– неэлементарное
произведение.
Количество сомножителей в элементарном произведении называется его рангом.
Два элементарных
произведения одинакового ранга
называются
соседними, если они являются формулами
одних и тех же высказываний и отличаются
знаком отрицания только одного
высказывания.
Теперь
сформулируем само правило склеивания
для элементарных конъюнкций: логическую
сумму двух соседних произведений
некоторого ранга
можно
заменить одним элементарным произведением
ранга
,
являющимся общей частью исходных
слагаемых.
Пример:
Аналогично для дизъюнкции определяются ранг и соседство. Правило склеивания для элементарных дизъюнкций формулируется следующим образом: логическое произведение двух соседних дизъюнкций ранга можно заменить одной дизъюнкцией ранга , являющейся общей частью исходных сомножителей.
Пример:
1.4.2. Правила поглощения для элементарных конъюнкций и
Дизъюнкций
Логическую сумму двух элементарных конъюнкций разных рангов, из которых одна является частью другой, можно заменить слагаемым, имеющим меньший ранг.
Пример:
Правило поглощения для элементарных дизъюнкций формулируется следующим образом: логическое произведение двух элементарных дизъюнкций разных рангов, одна из которых является частью другой, можно заменить сомножителем меньшего ранга.
Пример:
.
Правила склеивания и поглощения, как нетрудно заметить, являются следствием распределительных законов.
1.4.3. Правило развёртывания
Оно также является следствием распределительных законов и регламентирует действие, обратное склеиванию. Оно используется, когда нужно составить некоторое логическое выражение в виде совокупности конституент (от англ. constituent – составная часть чего-либо) единицы (КЕ) или конституент нуля (КН).
Конституента единицы (иногда употребляют минтерм) – это конъюнкция всех высказываний, которые входят в неё в прямом или инверсном виде лишь по одному разу и обращающаяся в ноль при одном наборе логических значений высказываний и в единицу при всех остальных наборах.
Конституента нуля (иногда употребляют макстерм) – это дизъюнкция всех высказываний, которые входят в неё в прямом или инверсном виде лишь по одному разу и обращающаяся в единицу при одном наборе логических значений высказываний и в ноль при всех остальных наборах.
Количество KE
и КН заданного числа высказываний
совпадает, как это следует из определения,
с числом различных наборов высказываний
и равно
.
Конституенты принято обозначать
какими-либо символами, например:
и
.
Единица или ноль в верхнем индексе
означает вид конституенты, т.е. КЕ это
или КН, нижний индекс означает ее номер,
совпадающий с номером набора.
Приведем примеры всех КЕ и КН для двух высказываний.
Таблица 7.