Упражнения

Среди следующих предложений выделить высказывания и установить, истинные они или ложные.

1. Река Дон впадает в Азовское море;

2. Город Таганрог находится в Краснодарском крае;

3. Всякий человек имеет брата;

4. Играйте в футбол!

5. Существует человек, который моложе своего отца;

6. Сколько цветов в радуге?

7. Ни один человек не весит более 1000 кг;

8. ;

9. Для всех действительных чисел и верно равенство

;

10. Существуют прямоугольные треугольники;

11. Данный треугольник является прямоугольным;

12. Давайте играть в баскетбол;

13. ;

14. ;

15. .

2. Логические операции над высказываниями

Над высказываниями, обозначенными соответствующими буквами, можно выполнять логические операции аналогично тому, как выполняются операции сложения, вычитания, умножения и деления над числами в арифметике или над буквами в алгебре. Такими операциями в алгебре логики принято считать: отрицание (инверсия), конъюнкцию (от лат. conjunctio – союз, связь; логическое умножение), дизъюнкцию (от лат. disjunctio – различие, разделение; логическое сложение), импликацию (от лат.implico – тесная связь), и эквиваленцию (от лат. aequivalens – равносильный, равноценный).

Отрицанием х называется новое высказывание которое является истинным, если высказывание ложно, и ложным если высказывание x истинно. Высказывание читается как “не ” или “неверно, что ”. Логическое значение высказывания можно выразить с помощью таблицы истинности.

Таблица1

Таблица истинности для

1	0
0	1

Конъюнкцией двух высказываний называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания и истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно. Конъюнкция высказываний обозначается & , или , или или и читается “ и ”.

Для логического значения конъюнкции справедлива следующая таблица истинности

Таблица 2

Таблица истинности для конъюнкции

		&
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Например, для высказываний “9 делится на 3”, “18 делится на 3” конъюнкцией будет высказывание “9 делится на 3 и 18 делится на 3”, которое истинно.

Из определения операций конъюнкции и отрицания ясно, что высказывание & всегда ложно.

Дизъюнкцией двух высказываний называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний истинно, и ложным, если они оба ложны. Дизъюнкция обозначается или и читается “ или ”.

Логически дизъюнкция описывается следующей таблицей:

Таблица 3

Таблица истинности для дизъюнкции

0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Из определения операции дизъюнкции и отрицания ясно, что высказывание всегда истинно.

Импликацией двух высказываний называется новое высказывание, которое считается ложным, если истинно, а – ложно, и истинным во всех остальных случаях. Импликация высказываний обозначается и читается “если то ”, или “из следует ”, или “ влечет ”. Высказывание называют условием или посылкой, высказывание – следствием или заключением, а общее высказывание _¯ следованием или импликацией, или условным высказыванием.

Таблица истинности для импликации имеет вид:

Таблица 4

Таблица истинности для импликации

0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Следует отметить, что приведенные прочтения операции импликации являются основными. Кроме них существуют и другие варианты прочтений, которые не меняют логического смысла импликации. Очевидно, что число вариантов прочтений той или иной операции определяется богатством изобразительных средств языка, на котором осуществляется это прочтение. Чем богаче язык, тем таких вариантов больше.

Так, для наиболее употребительного варианта прочтения импликации “если то ” одинаковый смысл будут иметь и такие варианты: “так как то ”, “поскольку то ”, “так как поэтому ”, “поскольку поэтому ”.

Для варианта “ из следует ” односмысловым будет прочтение “из того, что _, следует, что ”. Для варианта “ влечет ” односмысловым будет прочтение “ влечет высказывание ”.

Возможны и другие варианты прочтения операции импликации, которые мы здесь не отметили. Важно то, чтобы все они имели один и тот же логический смысл. Использование того или иного варианта прочтения определяется грамматическими особенностями языка, а также предпочтениями автора высказывания.

Рассмотрим пример. Пусть даны два простых высказывания “2 плюс 3 больше 4”, “2, умноженное на 3, больше 4”. Нужно записать (прочитать) импликацию этих высказываний. Очевидно, могут быть записаны такие варианты:

“Если 2 плюс 3 больше 4, то 2, умноженное на 3, больше 4”, “Так как 2 плюс 3 больше 4, то 2, умноженное на 3, больше 4”, “Из того, что 2 плюс 3 больше 4, следует, что 2, умноженное на 3 , больше 4” и так далее.

Эквиваленцией (эквивалентностью) двух высказываний называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным – во всех остальных случаях.

Эквиваленция высказываний обозначается и читается “для того, чтобы необходимо и достаточно, чтобы ”, или “ тогда и только тогда, когда ”. Эквиваленцию двух высказываний называют еще биусловным высказыванием (т.е. двойным условным высказыванием).

Таблица истинности для эквиваленции имеет вид:

Таблица 5

Таблица истинности для эквиваленции

0	0	1
1	0	0
0	1	0
1	1	1

Пусть – “число 18 делится на 3”, – “число 9 делится на 3”, тогда эквиваленция этих высказываний будет читаться так: “число 18 делится на 3 тогда и только тогда, когда число 9 делится на 3” или так: “для того, чтобы число 18 делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы число 9 делилось на 3”.

Для операции эквивалентности, как и для операции импликации, существует множество вариантов ее прочтения, которые, однако, не меняют её логического смысла. Так, например, если заданы два простых высказывания: – “число 3 ∙ 4 является четным”, “число 4 является четным”, то эквиваленция этих высказываний может быть записана в следующих односмысловых вариантах:

1). “Число является четным тогда и только тогда, когда число 4 является четным”;

2). “Для того, чтобы число было (являлось) четным, необходимо и достаточно, чтобы число 4 было (являлось) четным”;

3). “Условие, что 4 четное число, необходимо и достаточно для того, чтобы было четным числом”;

4). “Условие, что ₋ четное число, необходимо и достаточно для того, чтобы 4 было четным числом”;

5). “Из условия, что 4 четное число, следует, что также четное число, и наоборот”;

6). “Условия, что – число четное и что 4 – число четное, эквивалентны”.

Могут быть также и другие односмысловые варианты записи этой эквиваленции.

Операция эквиваленции играет важную роль как в самой математике, так и в других областях деятельности, например в криминалистике. К ней прибегают в том случае, когда имеют дело с высказываниями и такими, что из истинности следует истинность и из истинности следует истинность .