Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение множества по Кантору. Определите конечное и бесконечное, счетное и несчетное множества.

2. Какие существуют два основных способа задания множеств? Приведите примеры задания множеств.

3. Поясните понятие подмножество, как символически записывают отношение между множествами?

4. Какими свойствами может обладать отношение включения?

5. Какие подмножества множества называются несобственными?

6. Что такое множество-степень и чему равна его мощность?

7. В чем состоит различие между max и sup, min и inf ?

8. Приведите символическую запись операции объединения множеств и дайте ее интерпретацию с помощью кругов Эйлера.

9. Приведите символическую запись операции пересечения множеств и дайте ее интерпретацию с помощью кругов Эйлера.

10.Приведите символическую запись операции вычитания множеств и дайте ее интерпретацию с помощью кругов Эйлера.

11. Приведите символическую запись операции дополнения множеств и дайте ее интерпретацию с помощью кругов Эйлера.

12. Что такое универсальное множество и дайте его интерпретацию с помощью кругов Эйлера.

13. Приведите символическую запись симметрической разности двух множеств и дайте ее интерпретацию с помощью кругов Эйлера.

14. Как определяется сумма двух множеств, дайте ее геометрическую интерпретацию.

15. Приведите формальные записи коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности множеств.

16. Приведите формальные записи операций объединения и пересечения для одного множества с пустым и универсальным множествами.

17. Приведите формальные записи идемпотентности множеств, законов де Моргана и поглощения.

18. Поясните сущность отношений на множествах.

19. Что такое кортеж, декартово произведение?

20. Дайте определение отношения и раскройте его содержательный смысл.

21. Что такое область определения, значений и график отношения?

22. Как формально записывается обратное отношение и в чем его смысл?

23. Приведите формальную запись операций объединения, пересечения, разности и инверсии отношений. Приведите примеры.

24. Приведите формальную запись операций композиции и сужения отношений. Приведите примеры.

25. Приведите основные свойства отношений и соответствующие примеры.

26. Охарактеризуйте понятие функции как отношения на множествах.

27. Дайте определение инъективного, сюръективного и биективного отображения. Приведите примеры.

28. Дайте определение отношению эквивалентности. Приведите примеры эквивалентных и неэквивалентных отношений.

29. Поясните понятия отношений частичного и строгого порядка.

30. В чем суть парадоксов теории множеств. Приведите какой-нибудь пример парадокса и объясните его.

1. Алгебра логики

1. Понятие о простом и сложном высказывании

Основным понятием математической логики является простое логическое высказывание. Под логическим высказыванием понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо и принимающее истинное (И) или ложное (Л) значение в данных условиях места и времени. Например, даны высказывания: “собака – животное”, “Париж – столица Италии”, “3 < 5”. В соответствии с приведенным определением первое из этих высказываний является истинным, второе – ложным, третье – истинным.

Иногда в определении простого высказывания опускают слова “в данных условиях места и времени”. Возникает вопрос: правомочны ли мы это делать? Ответ на этот вопрос не является однозначным. Дело в том, что одно и то же высказывание в разных местах (Земли, континента, страны, города и т.п.), а также в разные интервалы времени может принимать различные логические значения. Действительно, высказывание: “Средняя продолжительность жизни человека не превышает 70 лет” для России является истинным, а для Японии –ложным [по данным Обзорно-географического атласа мира (М., 2003 г.) средняя продолжительность жизни россиян составляла 67,2 года (за последние 2 года она стала еще меньше), а средняя продолжительность жизни японцев-мужчин – 77,5 года, женщин – 84 года].

Высказывание: “Сборная команда СССР по баскетболу – лучшая в мире” для одних промежутков времени является истинным, а для других  ложным. С 1971 по 1974 г. она была чемпионом мира, поэтому приведенное высказывание было истинным, если его рассматривать относительно указанного промежутка времени, и ложным  для других промежутков времени, т.е. тех, когда она не становилась чемпионом мира.

Таким образом, истинность или ложность высказывания является достаточно условным понятием, и поэтому для однозначности логического значения высказывания условия места и времени нужно учитывать. Существуют, однако, высказывания, которые всегда и везде являются истинными или ложными (вечные истины). Так, например, высказывание “5 меньше 10” является всегда и везде истинным, поэтому для такого высказывания условия места и времени можно не учитывать.

Все простые высказывания, когда они объединяются грамматическими связками “И”, “ИЛИ”, “если, то…” и др., дают новые сложные высказывания. Например, высказывание “Если число иррационально, то тоже иррационально” получается связыванием двух простых высказываний сложным союзом “если…, то…”.

Простые высказывания в дальнейшем будем обозначать малыми буквами латинского алфавита: или буквами с индексами: Истинное значение высказывания будем обозначать цифрой “1”, а ложное  цифрой “0”.