2.7. Отношения эквивалентности

Понятие эквивалентности в нашем сознании ассоциируется с одинаковостью или равенством каких-то объектов. Э естественно, так как само слово «эквивалент» с латинского языка переводится как равносильный.

Математическое понятие эквивалентности, сохраняя его содержательный смысл, четко формулируется в терминах теории множеств. При этом можно дать две не противоречащих друг другу формулировки понятию эквивалентности: конструктивную и аксиоматическую.

Конструктивная формулировка опирается на выделение из некоторого множества М таких объектов х, которые обладают некоторым общим свойством или признаком. Иначе говоря, выбирают сходные, в чем-то одинаковые (равные) объекты. Такие объекты относят к одному классу. Именно так строят всевозможные классификации. Сам процесс отнесения объекта к какому-либо классу в теории множеств называется разбиением множества М.

Систему непустых подмножеств {М₁, М₂, …, М_n} множества М называют разбиением этого множества, если выполняются условия:

1. .

2. при

Подмножества называются классами данного разбиения. Отсюда вытекает такое определение эквивалентности: отношение Ф на множестве М называется отношением эквивалентности, если существует разбиение {М₁, М₂, …, М_n} множества М такое, что отношение x Ф y выполняется тогда и только тогда, когда х и у принадлежат некоторому общему классу М_i данного разбиения.

Аксиоматическая формулировка определяется через свойства (аксиомы), которые выделяют отношения эквивалентности среди прочих бинарных отношений. Отношение Ф на множестве М называется эквивалентностью, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Можно доказать, что обе формулировки отношения эквивалентности являются равносильными.

Рассмотрим примеры отношений эквивалентности.

1. Отношение равенства в любой системе чисел.

2. Отношение подобия во множестве всех треугольников в евклидовой плоскости.

3. Отношение параллельности на множестве прямых в евклидовой плоскости.

Рассмотрим пример отношения, которое не является отношением эквивалентности. Пусть на декартовом произведении рассматривается отношение x < y. Это отношение не является отношением эквивалентности по следующим причинам. Во-первых, не выполняется свойство рефлексивности, так как х, так же как и у, не может быть меньшим самого себя. Во-вторых, не выполняется и свойство транзитивности, так как если х < y, то у не может быть меньше х. Хотя свойство транзитивности и выполняется, но этого недостаточно, чтобы данному отношению быть эквивалентностью.

Еще одним характерным примером отношения, не представляющим эквивалентность, является отношение перпендикулярности прямых в евклидовой плоскости . Действительно, это отношение обладает следующими свойствами.

1. Оно антирефлексивно, так как прямая х не может быть перпендикулярной сама себе.

2. Оно симметрично, поскольку если , то .

3. Оно не транзитивно, поскольку если и , то х ǀǀ z, т.е. невозможно .

2.8. Отношения порядка

Для теоретических и практических приложений большое значение имеют бинарные отношения на множествах, между элементами которых установлен определенный порядок. Множества с установленным порядком между его элементами называются упорядоченными. Различают несколько видов упорядоченных множеств, среди которых наиболее простым и распространенным видом отношения порядка являются: частично упорядоченные и строго упорядоченные множества. Рассмотрим более подробно особенности этих видов отношений порядка.

Пусть Х – произвольное множество. Отношение Ф на множестве называют отношением частичного порядка, если оно обладает следующими свойствами:

• рефлексивности – х Ф х;

• антисимметричности – отношения х Ф у и у Ф х выполняются только при х = у;

• транзитивности – если х Ф у и у Ф z, то х Ф z.

Отношение частичного порядка обозначают символом «≤» При этом элементами x, y и z могут быть объекты любой природы: числа, геометрические фигуры, слова и т.д. Например, упорядочивание слов, терминов, понятий в различных словарях осуществляется в соответствии с отношением частичного порядка и называется лексикографическим порядком.

Содержательный смысл частичной упорядоченности означает предшествование одного элемента множества относительно другого.

Если бинарное отношение Ф на множестве Х антирефлексивно и транзитивно, то оно называется отношением строгой упорядоченности и обозначается символом «<». Доказано, что для отношения строгого порядка определяющими свойствами являются его антирефлексивность и транзитивность, а антисимметричность следует из этих двух свойств. Таким образом, отношение строгого порядка всегда антисимметрично.

В качестве отношений частичного порядка можно привести следующие примеры.

1. Отношение на множестве действительных чисел R. Так как действительные числа являются расширением множества Z целых чисел, то это отношение является частичным и для Z.

2. Схема организации подчинения в учреждении представляет отношение частичного порядка на множестве должностей. Так, например, между преподавателями кафедр установлен частичный порядок, поскольку среди них может быть по нескольку ассистентов, доцентов и профессоров.

Примерами отношений строгого порядка являются:

1. Отношение х < y на множестве R.

2. Расположение спортсменов или команд в турнирной таблице на множестве всех мест (на одном месте не могут находиться более одного спортсмена или команды).

Последний пример наталкивает на размышления о том, что итоговая турнирная таблица не всегда однозначно определяет силу спортсменов или команд. Ниже расположенный в турнирной таблице спортсмен не обязательно слабее выше расположенного. Более того, часто ниже стоящий спортсмен в личных встречах побеждал выше стоящего. Это говорит о том, что упорядочивание на множествах не ограничивается двумя рассмотренными видами отношений порядка.

Очевидно, что, комбинируя свойства отношений, можно получать различной степени порядки на множествах. Так, например, говорят об отношении квазипорядка (квази – почти), когда отношение транзитивно и рефлексивно. В общей теории множеств существуют и другие виды отношений порядка. Но их рассмотрение выходит за рамки данного учебного пособия.