2.5.1. Операции над отношениями

Над отношениями, так же как и над множествами, можно выполнять определенные операции. Однако специфика отношений позволяет выполнять операции над ними только на одной и той же области их определения. Поскольку отношения, в конечном итоге представляют собой множества, то на них переносятся основные операции над множествами: объединения, пересечения, разности и инверсии. Кроме того вводятся две новые операции: композиции и сужения.

Объединением отношений и на множестве А называется отношение

Например, для отношений и , где A = {1, 2, 3} их объединением будет отношение

= .

Пересечением отношений и на множестве А называется отношение

Пересечением отношений из предыдущего примера будет отношение

Разностью отношений и на множестве А является отношение

Разность отношений и из предыдущего примера будет иметь вид

Инверсией отношения называется новое отношение , в котором элементы множества значений (графика) Ф^-1 являются инверсиями элементов графика Ф.

Например, для отношения инверсией будет отношение

Операция композиции может рассматриваться в тех случаях, когда заданы три множества А, В, и С. Тогда композицией отношений и называется новое отношение в котором каждый элемент (кортеж) графика получается по правилу

(5)

Здесь для обозначения операции композиции используется символ « » (кружок), а для всех кортежей, входящих в правило (5), должны выполняться условия: и .

В частных случаях возможно , тогда должно выполняться условие

Рассмотрим пример выполнения операции композиции для отношения строгого порядка, определяемого треугольно матрицей (4). Для удобства выполнения операции композиции все элементы отношения строгого порядка, задаваемые матрицей (4), запишем в одну строку

Тогда, пользуясь правилом (5), получим

Напомним, что при получении композиции элементы, встречающиеся многократно, входят в композицию, являющуюся множеством, только один раз.

Рассмотрим другой пример построения композиции отношения, но не с самим собой. Пусть Тогда

Рассматриваемые до сих пор операции над отношениями выполнялись на одной и той же области определения. Но возможны случаи отношений с разными областями определения. Для таких случаев вводится операция, меняющая область определения. Она называется операцией сужения отношения и формулируется следующим образом. Пусть задано отношение на множестве А, и имеется другое множество Тогда операция сужения отношения на множество В определяет новое отношение

Например, пусть = и Тогда

2.5.2. Основные свойства отношений

Таких свойства три: рефлексивность, симметричность и транзитивность.

Отношение называется рефлексивным, если для любого элемента выполняется .

Отношение называется симметричным, если для любых выполняются отношения и .

Отношение называется транзитивным, если для любых из и следует

Хорошими пояснениями приведенных свойств отношений являются следующие вербальные типы отношений. Так содержательный смысл рефлексивности поясняет отношение знакомства: каждый знаком с самим собой. Содержание симметричности поясняет отношение родства: если а родственник в, то и в родственник а. Содержательный смысл транзитивности поясняет отношение связи: если город а связан железной дорогой с городом в, который связан железной дорогой с городом с, то город а связан железной дорогой с городом с.

Кроме основных свойств отношений имеют место и некоторые другие, например, с добавкой частицы «анти». Среди них следует выделить свойство антисимметричности.

Отношение Ф называется антисимметричным, если оба отношения и выполняется только тогда, когда х = у.

В качестве иллюстрации этого свойства рассмотрим такой пример. Пусть отношение Ф задано на множестве R действительных чисел, и Ф есть отношение «≤». Тогда отношение Ф рефлексивно, так как для любых Это отношение не симметрично, так как, например 2 ≤ 3, но 3 ≤ 2 не верно. Отношение транзитивно, так как очевидно, что если х ≤ у, у ≤ z, то x ≤ z. Отношение антисимметрично, так как х ≤ у и у ≤ х только при х = у.