2.2.2. Множество-степень
В некоторых случаях
необходимо знать не отдельные подмножества
некоторого множества, а все подмножества
этого множества. Множество всех
подмножеств множества A
называется множеством-степенью
множества
A
и обозначается
символом P(A).
Таким образом, P(A)
является сокращенным обозначением для
«формы от x»
Например, если A = {1, 2, 3}, то
P(A) = { , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.
Интерес вызывает вопрос о мощности множества P(A). Нетрудно заметить, что перечисление всех подмножеств множества A получается перебором всех сочетаний пустого, одно, двух и трехэлементных подмножеств множества A. Если множество A состоит из n элементов, то мощность множества-степени P(A) будет определяться выражением
|P(A)|
=
(1)
где
(2)
а сочетания
и определяют несобственные подмножества
множества A
(пустое множество
и само множество A).
Приведем, может быть, не самое изящное, но одно из самых простых и наглядных доказательств того, что
|P(A)|
=
.
(3)
Вычисление
при различных k
для наглядности удобно выполнять по
так называемому треугольнику Паскаля,
который строится следующим образом. В
вершине треугольника стоит единица,
которая определяется по формуле (2) при
n
= k
= 0. Для n
= 1 число k
будет принимать два значения: 0 и 1.
Поэтому из формулы (2) мы получим два
значения числа сочетаний: соответственно
1 и 1. Эти значения будут представлять
основание первого треугольника.
Для n = 2 число k будет принимать три значения: 0, 1 и 2. Поэтому получаем три значения числа сочетаний – соответственно 1, 2 и 1. Они будут представлять основание второго треугольника. Аналогично для n = 3 будем иметь четыре значения для числа сочетаний – 1, 3, 3, 1, которые будут представлять основание третьего треугольника и т.д.
По треугольнику Паскаля очень просто вычисляются различные значения сочетаний, не используя формулу (2). Для получения каждого значения числа сочетаний в следующем основании треугольника нужно сложить предыдущее и последующее значения числа сочетаний из основания предыдущего треугольника.
Обобщение всего сказанного представим в виде таблицы 1, в первом столбце которой запишем различные значения n, во втором столбце – числа 2n , в третьем столбце представим треугольник Паскаля, в четвертом – числа, получающиеся путем суммирования чисел, стоящих в основаниях соответствующего треугольника Паскаля или, что то же самое, рассчитанные по формуле (2).
Таблица 1
n |
|
Треугольник Паскаля |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 1 |
2 |
2 |
4 |
1 2 1 |
4 |
3 |
8 |
1 3 3 1 |
8 |
4 |
16 |
1 4 6 4 1 |
16 |
5 |
32 |
1 5 10 10 5 1 |
32 |
… |
… |
… |
… |
Из приведенной таблицы видим, что второй и четвертый столбцы табл. 1 полностью совпадают, что и доказывает формулу 3.