Лабораторная работа № 3.

Цель работы: научится применять интерполяционный многочлен Лагранжа и формулу Ньютона.

Интерполяционный многочлен Лагранжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел (x_0,y₀),(x₁,y₁)…,(x_n,y_n),, где все x_i различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(x_i) = y_i.

В простейшем случае (n = 1) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Этот пример показывает интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек (-9,5), (-4,2), (-1,-2) и (7,9), а также полиномы y_j l_j(x), каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимает нулевое значение в остальных x_i

Л

(3.1)

)

агранж предложил способ вычисления многочленов вида:

г

(3.2)

де базисные полиномы определяются по формуле:

l_j(x) обладают следующими свойствами:

• являются многочленами степени n

• l_j(x_j) = 1

• l_j(x_i) = 0 при

Отсюда следует, что L(x), как линейная комбинация l_j(x), может иметь степень не больше n, и L(x_j) = y_j,

Применения

Полиномы Лагранжа используются для интерполяции, а также для численного интегрирования.

П

(3.3)

усть для функции f(x) известны значения y_j = f(x_j) в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

В

(3.4)

частности,

Значения интегралов от l_j не зависят от f(x), и их можно вычислить заранее, зная последовательность x_i.

Интерполяционная формула Ньютона

Интерполяционные формулы Ньютона — формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования.

Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что x_{i + 1} − x_i = h = const, то есть x_i = x₀ + ih, то интерполяционный многочлен можно записать в форме Ньютона.

Интерполяционные полиномы в форме Ньютона удобно использовать, если точка интерполирования находится вблизи начала (прямая формула Ньютона) или конца таблицы (обратная формула Ньютона).

Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона

(3.5)

В случае равноудаленных центров интерполяции, находящихся на единичном расстоянии друг от друга, справедлива формула:

где  — обобщенные на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

П

(3.6)

рямая интерполяционная формула Ньютона

где , а выражения вида Δ^ky_i — конечные разности.

О

(3.7)

братная интерполяционная формула Ньютона

где .

Случай равномерного распределения узлов интерполяции

В случае равномерного распределения узлов интерполяции x_i выражаются через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку x₀:

,

и, следовательно,

П

(3.8)

одставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

Т

(3.9)

еперь можно ввести замену переменной

и получить полином от y, который строится с использованием только целочисленной арифметики. Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования алгоритмов с многобайтным представлением чисел.

Контрольные вопросы:

1.Что такое интерполяционный многочлен Лагранжа ?

2.Для чего используют полиномы Лагранжа?

3. Для чего применяют интерполяционные формулы Ньютона?