ЧМ - ПР№2

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2

Интерполяция функций

ЗАДАНИЕ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Функция y=f(x) задана таблицей значений в точках .

Используя пользовательскую и встроенные функции MathCAD построить линейную и кубическую сплайн интерполяцию.

Используя метод наименьших квадратов (МНК), найти многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения оптимальной степени m=m*. За оптимальное значение m* принять ту степень многочлена, начиная с которой величина стабилизируется или начинает возрастать.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Задать векторы x и y исходных данных.

2. Используя пользовательскую функцию Interpol выполните линейную интерполяцию функции и определите значение Y в точке X=1.67

3. Используя встроенные в MathCAD функции постройте линейную и кубическую сплайн интерполяцию.

4. Используя пользовательскую функцию mnk, найти многочлены Pm, m=0,1,2,..., по методу наименьших квадратов. Вычислить соответствующие им значения .

5. Построить гистограмму зависимости от m, на основании которой выбрать оптимальную степень m* многочлена наилучшего среднеквадратичного приближения.

6. На одном чертеже построить графики многочленов Pm, m=0,1,2,..., m*, и точечный график исходной функции.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Пусть функция задана таблицей, где первый столбец, х-координата, а второй, y-координата.

Построим график

Допустим, нам необходимо вычислить значение функции в точке x=0.53. Очевидно, необходимо построить уравнение прямой проходящей через две ближайшие точки и вычислить значение функции для данного значения аргумента. Это линейное приближение.

2. Напишем программу линейной интерполяции.

- количество строк матрицы - 1 - лежит ли х в диапазоне? - вычисляем индекс точки справа - угловой коэффициент - свободный член уравнения - возвращаемое значение

Теперь можно вычислить значение при х=0.53:

В Mathcad реализованы стандартные функции для линейной интерполяции linterp() и функция interp() для кубической сплайн-интерполяции.

3.1. Линейная интерполяция                 

Функция :

- векторы данных упорядоченные по возрастанию;

- аргумент, для которого возвращается вычисленное значение.

Для нашего случая:

     

Построим на графике обе эти зависимости и исходный набор точек:

3.1. Кубическая сплайн-интерполяция

Кубическая сплайн-интерполяция позволяет провести через набор точек гладкую кривую так, чтобы в этих точках были непрерывны первая и вторая производные. Вначале вычисляется вектор вторых производных для чего имеется набор из 3-х функций:

- генерирует кривую, являющуюся кубическим полиномом в граничных точках;

- соответственно, параболу;

- прямую.

Вычислим:

 

 

Построим график для всех 3-х вариантов.

4. Метод наименьших квадратов

Векторы исходных данных:

Функция mnk, строящая многочлен степени m по методу наименьших квадратов, возвращает вектор a коэффициентов многочлена:

 

Входные параметры:

x, y - векторы исходных данных;

n+1 - размерность x,y.

Вычисление коэффициентов многочленов степени 0,1,2,3 по методу наименьших квадратов:

Функция P возвращает значение многочлена степени m в точке t; многочлен задается с помощью вектора коэффициентов a:

 

Функция возвращает значение среднеквадратичного отклонения многочлена P(a,m,t):

Вычисление значений , m=0,1,2,3:

Гистограмма

Вывод: оптимальная степень m*=2; многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения: P2(x)=-1.102+1.598x+0.717

Графики многочленов степени 0,1,2 и точечный график исходной функции:

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

1		2		3		4		5
x	y	x	y	x	y	x	y	x	y
-1	-2.25	0	4.568	-1	3.614	-0.5	0.72	-2.1	14.1982
-0.7	-0.77	0.375	3.365	-0.74	1.199	-0.25	1.271	-1.8	11.4452
-0.43	0.21	0.563	2.810	-0.48	-0.125	0	1.2	-1.5	9.1586
-0.14	0.44	0.75	2.624	-0.21	-0.5838	0.25	0.7363	-1.2	7.2426
-0.14	0.64	1.125	0.674	0.05	-0.538	0.5	0.24	-0.9	6.3640
0.43	0.03	1.313	0.557	0.31	-0.2855	0.75	-0.175	-0.6	4.8182
0.71	-0.22	1.5	0.384	0.58	0.1111	1	-0.36	-0.3	6.1088
1	-0.84	1.690	-0.566	0.84	0.4529	1.25	-0.328	0	3.9536
1.29	-1.2	1.875	-1.44	1.1	0.6711	1.5	0	0.3	4.6872
1.57	-1.03	2.063	-1.696	1.36	0.6625	1.75	0.3538	0.6	4.7601
1.86	-0.37	2.25	-1.91	1.63	0.4501	2	0.72	0.9	5.8511
2.14	0.61	2.438	-2.819	1.89	0.157	2.25	0.6969	1.2	7.1010
2.43	2.67	2.625	-3.625	2.15	-0.1876	2.5	0	1.5	9.1792
2.71	5.04	2.813	-3.941	2.41	-0.542	2.75	-1.792	1.8	11.421
3	8.90	3	-4.367	2.95	-0.1983	3	-5.16	2.1	14.097

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Постановка задач приближения функций.

2. Метод наименьших квадратов. Вывод нормальной системы метода наименьших квадратов.

3. Погрешность интерполяции.