Представление чисел в эвм

Принципиальное ограничение на выполнение арифметических вычислений накладывает способ представления чисел в памяти ЭВМ. В памяти компьютера действительные числа представляются в нормализованном виде, т.е. первая значащая цифра мантиссы не равна нулю. Записи чисел с одинарной точностью (4 байта) соответствует для компьютеров IBM PC примерно 7 цифр в десятичном представлении мантиссы, а записи с двойной точностью (8 байт) соответствует 14 цифр в мантиссе. Порядок изменяется от –37 до +37 для одинарной точности и от –63 до +63 для двойной точности.

При представлении действительных чисел в памяти ЭВМ возникают ошибки, обусловленные тем, что дробное десятичное число не всегда точно представимо в двоичной системе счисления (Например, дробь 1/10 имеет конечное десятичное представление 0.1, но, будучи переведена в двоичную систему счисления, становится бесконечной дробью 0.000110011001100…). Поэтому в ЭВМ нельзя представить не только все трансцендентные и иррациональные числа, но и даже все рациональные числа. ЭВМ позволяет представить лишь конечное подмножество действительных чисел. При этом особо выделяется множество целых чисел, для которых в ЭВМ, как правило, используется специальный способ представления. Происходит раздвоение множества целых чисел. Одно и то же целое число можно представить как:

машинное целое число;
машинное число с плавающей точкой.

В языках программирования логическое выражение 7=7.0 (Equal) не обязательно является истинным. Это объясняется тем, что в ЭВМ используются различные способы представления целых чисел и чисел с плавающей точкой. Таким образом, один и тот же набор битов может интерпретироваться по-разному. Например, 32 бита для обычных целых и вещественных чисел в Фортране могут интерпретироваться как:

a) машинное целое число: 1 бит обозначает знак числа, а остальные 31 бита отводятся под позиционную запись 31-значного целого числа, в двоичной системе счисления;

b) машинное число с плавающей точкой: 1 бит обозначает знак числа, остальные 31 битов отводятся для записи значения числа, представленного в экспоненциальном виде в двоичной системе счисления, при этом под смещенный порядок отводится 8 битов, а под мантиссу 23.

При использовании двойной точности под запись числа отводится 64 бита. Для целых чисел: 1 бит – знак, остальные 63 бита – позиционная запись числа в двоичной системе счисления. Для чисел с плавающей точкой: 1 бит – знак числа, 63 бита – экспоненциальная запись числа в двоичной системе счисления (11 бит – смещенный порядок, 52 бита – мантисса).

Значение смещенного порядка числа вычисляется по формуле , где – порядок числа, а – количество бит, которое отводится под запись порядка числа.