2.4. Основы теории приливов

2.4.1. Приливообразующие силы и их потенциал

На каждую частицу Земли действуют:

• сила притяжения частицы к центру Земли;

• центробежная сила, возникающая при вращении Земли вокруг своей оси;

• центробежная сила, возникающая при обращении системы Земля - Луна вокруг общего центра тяжести;

• центробежная сила, возникающая при обращении системы Земля - Солнце вокруг общего центра тяжести;

• сила притяжения к центру Луны;

• сила притяжения частицы к центру Солнца.

Сила притяжения к центру Земли и центробежная сила, возникающая при вращении Земли вокруг своей оси постоянны во времени, их равнодействующая является силой тяжести. Поскольку сила тяжести для данной точки Земли является величиной постоянной, она не участвует в создании прилива и поэтому ее можно не учитывать.

Силы притяжения Луны и Солнца в отдельных точках Земли неодинаковы (переменны) и зависят от расстояния от этих точек до центров соответственно Луны и Солнца.

Центробежные силы систем Земля - Луна и Земля - Солнце для каждой точки Земли одинаковы и равны силам притяжения Луны и Солнца, но только в центре Земли. Это вполне понятно, так как в противном случае расстояние между Землей и Луной и Землей и Солнцем или увеличивалось бы или уменьшалось.

Равнодействующая всех сил, действующих на частицу Земли, оказывается переменной.

Для простоты рассуждения положим, что на частицу Земли действует только приливообразующая сила Луны, и рассмотрим вначале только взаимодействие в системе Земля - Луна вокруг их общего центра тяжести (приливообразующая сила Солнца выводится аналогично). При этом суточное вращение Земли и движение всей системы вокруг Солнца во внимание не принимается.

Общий центр тяжести между Землей и Луной находится на расстоянии 0.73 земного радиуса, то есть внутри тела Земли (в системе Земля - Солнце общий центр тяжести системы лежит внутри Солнца). Система Земля - Луна совершает полный оборот вокруг общего центра тяжести за лунный месяц (27 ¹/₂ суток).

2 4.1.1. Приливообразующие силы

1. Силы притяжения Луны.

2. Центробежные силы.

Возьмем систему прямоугольных координат с началом в центре Земли.

Поместим плоскость XOY так, чтобы она совпала с плоскостью экватора, а ось Z направим вертикально вверх (рис. 26). Пусть масса Луны – М_л, а точка Р расположена на поверхности океана и представляюет некоторую частицу, масса которой равна единице. Ее координаты – x,y,z, расстояние от нее до Луны равно D, а до центра Земли - ρ (радиус Земли). Расстояние от центра Земли до центра Луны – r_л а приведенное к центру Земли зенитное расстояние Луны (угол между направлением на Луну и точку Р из центра Земли) - z_л.

Согласно 1-му закону Ньютона, сила притяжения пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Поэтому на частицу единичной массы, находящуюся в точке Р₁, будет действовать сила притяжения F_р, равная по величине:

F_р = kM_л / D²,

а на частицу, расположенную в центре Земли (О), сила притяжения F₀:

F_o = kM_л / r_л ²,

где k – коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной.

Силы притяжения к Луне частиц на поверхности океана и в центре Земли неодинаковы, так как удаление их от центра притяжения Луны различно.

Рис. 26. К выводу потенциала приливообразующих сил

Сила притяжения, действующая на частицы, находящиеся в центре Земли (в точке О) (),равна по величине центробежной силе , возникающей от обращения системы „Земля - Луна” вокруг их общего центра тяжести, но обратна ей по направлению. В векторной форме это запишется так:

Силы притяжения Луны, действующие на частицы, расположенные вне центра Земли, не уравновешены центробежной силой. Поэтому эти частицы будут смещаться относительно центра Земли.

В результате в каждой точке Земли вследствие геометрического сложения силы притяжения Луны в данной точке и центробежной силывозникаетравнодействующая, которая и является приливообразующей силой :

= +

Поскольку сила притяжения в центре Земли равна по величине и обратна по направлению центробежной силе системы „Земля — Луна”, то есть: , то приливообразующую силу Луны можно представить и как разность сил притяжения Луны в данной точке (Р) и в центре Земли (О):

На половине Земли, обращённой к Луне, , поэтому векторы приливообразующих сил направлены к Луне (рис. 27).

На противоположной половине наоборот, , поэтому векторы приливообразующих сил направлены от Луны.

Приливообразующая сила в результате сложения силы притяжения и центробежной силы будет равна:

Аналогично, приливообразующая сила Солнца равна:

,

Рис. 27. Равнодействующие или приливообразующие силы Луны

в каждой точке Земли

где F_c - приливообразующая сила Солнца, М_с - масса Солнца, r_с - расстояние между центрами Земли и Солнца).

В образовании прилива основную роль играют горизонтальные составляющие приливообразующих сил, направленные по касательной к поверхности Земли (оси Х и Y). Вертикальная составляющая в величине приливообразующей силы практически роли не играет, она изменяет только силу тяжести.

Приливообразующие силы наибольшие и равные друг другу в зените и надире (если пренебречь радиусом Земли по сравнению с расстоянием до Луны). (В действительности приливообразующая сила в зените на 1/43 больше, чем в надире). На полюсах приливообразующие силы вертикальны и минимальны.

Вместо приливообразующих сил в теории приливов более удобно пользоваться их потенциалом.

Потенциал силы - это функция, частные производные которой (то есть изменения которой) в заданном направлении равны проекциям силы на соответствующие направления (на оси координат х, y, z).

Если обозначить потенциал приливообразующей силы Луны через V_л, то согласно определению для проекций сил на оси координат х, y, z будем иметь:

Правые части этих равенств известны. Поэтому совместное решение трёх уравнений (интегрирование) даёт значение потенциала:

Отсюда выражение для потенциала лунной приливообразующей силы имеет вид:

Аналогично находится потенциал приливообразующей силы Солнца:

,

где М_с - масса Солнца;

r_c - расстояние между центрами Земли и Солнца;

z_c - зенитное расстояние Солнца, приведённое к центру Земли.

Полный потенциал приливообразующих сил Луны и Солнца будет равен сумме потенциалов:

Если подставить в формулы средние значения масс Луны и Солнца, их расстояний от Земли, то можно убедиться, что приливообразующая сила Луны в среднем в 2.17 раза больше приливообразующей силы Солнца.

Сравним величины составляющих приливообразующих сил Луны с силой тяжести, действующей на единицу массы. Подстановка числовых значений величин в формулы дает средние значения составляющих приливообразующей силы Луны:

; ,

где F_л(г) - горизонтальная составляющая, F_л(в) - вертикальная составляющая, g - ускорение силы тяжести.

Таким образом, и горизонтальная, и вертикальная составляющие приливообразующей силы Луны и Солнца оказываются очень малыми по сравнению с силой тяжести. При этом вертикальная составляющая, хотя она и несколько больше горизонтальной, совершает работу против силы тяжести и лишь незначительно изменяет вес частиц воды, не выказывая никакого движения, так как она в 9 миллионов раз меньше силы тяжести.

Горизонтальная составляющая, действующая перпендикулярно к силе тяжести, вызывает значительные горизонтальные перемещения частиц воды, что и влечет за собой поднятие или опускание уровня моря.