Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями

Пусть дуга задана параметрическими уравнениями , , , где , – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке , и – монотонная функция. Тогда длина дуги вычисляется по формуле

(8)

Площадь поверхности вращения Площадь поверхности вращения в декартовых координатах

Пусть поверхность образована вращением вокруг оси дуги , заданной уравнением , , где – неотрицательная непрерывно дифференцируемая на отрезке функция.

За площадь поверхности вращения принимают предел площадей поверхностей, образованных вращением вокруг оси вписанных в дугу ломаных, при неограниченном увеличении числа звеньев ломаной и стремлении к нулю наибольшей из длин ее звеньев.

(9)

Площадь поверхности вращения в случае параметрического задания кривой

В случае задания кривой параметрическими уравнениями , , где функции , – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке , – монотонна и , , в результате замены переменной в интеграле в равенстве (7.8) получаем формулу

(10)

Объём тел вращения

Пусть функция непрерывна и неотрицательна на . Тогда тело, которое образуется вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции (рис. 9), имеет объём

. (11)

Если тело вращается вокруг оси (рис.10), то его объём:

. (12)

Примеры решения типовых задач

П ример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Изобразим данную фигуру (рис. 11.).

Площадь заданной фигуры может быть найдена с помощью интеграла (формула 3). Найдём границы интегрирования, решив систему уравнений , т.е. , . Итак, согласно формуле (7.3), имеем:

(кв.ед.).

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: , и .

Р ешение. Парабола пересекает ось абсцисс в точках и . Фигура, площадь которой требуется найти показана на рис. 12 штриховкой. Пусть и – площади частей этой фигуры, соответствующих отрезкам и , а – искомая площадь; тогда .

Используя формулу (1), получим

(кв. ед.), а по формуле (2) находим (кв. ед.).

Следовательно, (кв. ед.).

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью (рис. 13).

Решение. По формуле (5) имеем

.

Пример 4. Вычислить длину дуги параболы

Решение. Функция непрерывна на отрезке , ее производная непрерывна на полуинтервале и . Поэтому для длины данной дуги параболы по формуле (7.7.) получаем несобственный интеграл . Определение несобственных интегралов было рассмотрено в параграфе 6. Имеем .

Рассмотрим отдельно неопределенный интеграл:

Тогда

П ример 5. Найти длину дуги полукубической параболы , отсеченной прямой (рис. 14).

Решение. Длина дуги равна удвоенной длине дуги . Значение параметра , соответствующее точке пересечения параболы с прямой, найдем из системы уравнений . Получим . Аналогично . Тогда

.

Пример 6. Вычислить площадь части поверхности параболоида , отсеченной плоскостью .

Решение. Данная поверхность является поверхностью, образованной вращением вокруг оси дуги параболы , . Тогда и по формуле (7.9.) получаем:

Пример 7. Найти площадь поверхности, полученной вращением циклоиды вокруг оси (см. рис. 13)

Решение. По формуле (10) имеем

Пример 8. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Объём тела найдём, используя формулу (12):