Задания для самостоятельной работы

7.7. Вычислить интегралы от тригонометрических функций:

;	;
;	;
;	;
;	.

7.8. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

;	;
;	:
;	;
;	.

Ответы

7.7 . а) ; б) ; в) ; г) ln (6+10 arctg )+ С; д)– ln + ; е) ; ж) lntg ; з)3x+4sin2x+С. 7.8. а) ; б) ; г)arcsin +С; д) + С; е)–2 –-3arcsin +С; ж) –arcsin +С; з) .

7.4. Понятие определённого интеграла, его геометрический смысл. Свойства определённого интеграла Краткие теоретические сведения

Пусть функция определена на . Разобьём произвольным образом точками на частичных отрезков длиной . Выберем в каждой из них точку и найдем значения функции в каждой из этих точек – . Сумма вида

(1)

называется n-ой интегральной суммой функции на .

Г еометрический смысл интегральной суммы (1) – сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами . Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка данного разбиения (рис.1).

Определение. Если существует конечный предел суммы (5.1) при , то этот предел называется определённым интегралом от функции по отрезку и обозначается: .

,

– подынтегральная функция, – подынтегральное выражение, – отрезок интегрирования, и – нижний и верхний пределы интегрирования, – переменная интегрирования.

Теорема. Если функция непрерывна на , то она интегрируема на , т.е. предел интегральной суммы (1) существует и не зависит от способа разбиения на частичные отрезки и выбора на них точек .

Если , то геометрически определённый интеграл выражает площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью и прямыми . Эта фигура – криволинейная трапеция. В общем случае, когда функция на принимает значения разных знаков, определённый интеграл выражает разность площадей криволинейных трапеций, расположенных над осью и под ней, т.к. расположенной под осью , присваивается знак «–».

Далее будем рассматривать функцию непрерывную на . По определению полагают, что определённый интеграл от функции с равными верхним и нижним пределами интегрирования равен нулю

. (2)

1. При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный

. (3)

2. Каковы бы ни были числа имеет место равенство

. (4)

Определённый интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям (аддитивность по области интегрирования).

3. Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла, т.е.

. (5)

4. Определённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е.

. (6)

Свойства 3,4 называются свойствами линейности.

Далее будем считать, что .

5. Если всюду на , то .

6. Монотонность. Если всюду на , то .

7. Оценка модуля интеграла. Если функция непрерывна на , то

. (7)

Следствие. Если всюду на , то .

8. Если и – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на , то

. (8)

9. Теорема о среднем. Если непрерывна на , то на этом отрезке существует точка , что

. (9)

10. Интеграл с переменным верхним пределом. Если функция непрерывна и , то имеет место равенство , т.е. производная определённого интеграла по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции при том же – первообразная для функции .

11. Формула Ньютона-Лейбница. Если – первообразная функции , непрерывной на , то

. (10)

Формула (10) даёт простой метод вычисления определённого интеграла: определённый интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой её первообразной, вычисленных для верхнего и нижнего пределов интегрирования. Таким образом, задача вычисления определённого интеграла сводится к задаче вычисления неопределённого интеграла, которая достаточно изучена. Здесь используются те же методы интегрирования.

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Положим при , при . Применим подстановку:

.

Пример 2. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Применим метод интегрирования по частям, пусть . Тогда

.

Пример 3. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Применим универсальную тригонометрическую подстановку. Пусть

. Тогда

.

Задания для самостоятельной работы

7.9. Вычислить определенные интегралы:

;	;
;	;
;	;
;	.

Ответы

7.9. а) 1– ; б)1/64; в)–2; г)arctg2; д) ; е)0; ж) ; з) .

7.5. Несобственные интегралы.

Краткие теоретические сведения

Несобственные интегралы являются обобщением понятия определённого интеграла на случаи: 1) когда область интегрирования является не отрезок , а полупрямые , или вся прямая ; 2) когда функция имеет точки разрыва 2-го рода, в окрестностях которых функция неограниченна.

Е сли функция непрерывна на полупрямой , то – некоторая непрерывная функция от . Тогда предел (6.1) называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом функции на и обозначается

(1).

Таким образом

= . (2)

На рис. 2 в случае неотрицательной функции проиллюстрировано вычисление площади фигуры, ограниченной снизу полупрямой , сверху графиком функции и слева прямой , как предела площади криволинейной трапеции при .

Если предел существует и конечен, то интеграл сходящийся, если не существует или бесконечен, то расходящийся. Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами:

, (3)

, (4)

где – произвольная фиксированная точка. При этом говорят, что интеграл (6.5) сходится, если сходится каждый из двух несобственных интегралов в правой части этого равенства, и расходится, если хотя бы один из них расходится.

Если сходится интеграл , то интеграл – абсолютно сходящийся.

Для установления сходимости интеграла (6.2) можно использовать следующие признаки сравнения.

Теорема. Пусть всюду на полупрямой справедливо неравенство . Тогда: 1) если интеграл – сходится, то сходится и интеграл , причем ; 2) если интеграл расходится, то будет расходиться и интеграл .

Пусть функция непрерывна во всех точках за исключением точки , где она терпит бесконечный разрыв. Тогда по определению

, где . (5)

Интеграл (6.6) называется несобственным интегралом от разрывной функции. Если оба предела, стоящие в правой части, существуют и конечны, то интеграл сходящийся, если хотя бы один из них не существует или бесконечен, то расходящийся. В случае, когда или (рис.3), в правой части равенства будет только один предел.

Т еорема. Пусть всюду на отрезке функции , терпят бесконечный разрыв в точке и всюду, кроме , выполняется неравенство . Тогда: 1) если интеграл – сходится, то сходится и интеграл ; 2) если интеграл расходится, то будет расходиться и интеграл .