Нестационарные временные ряды (интегрированные процессы).

На практике временной ряд х_t может субъективно определить как нестационарный при помощи графиков – линейной диаграммы временного ряда и его коррелограмм.

Для некоторых нестационарных временных рядов характерно случайное блуждание. Такие временные ряды не выказывают тенденции ни к возрастанию, ни к убыванию. Временной ряд может возрастать или убывать со временем и не сохранять среднего значения в долгосрочном периоде. Типичным примером временных рядов такого типа являются ряды обменных курсов валют.

Причины нестационарности:

- наличие тренда;

- высокая инерционность внезапного воздействия (шока) на временной ряд (во время экономического спада или бума основные макроэкономические показатели претерпевают сильные изменения и остаются на новом уровне в течение длительного промежутка времени).

Относительно длинный временные ряды можно охарактеризовать как условно гетероскедастичные. То есть в долгосрочном периоде дисперсия ряда постоянна. Но в рамках данного периода имеются более короткие отрезки времени ,на протяжении которых дисперсия относительно высока.

Выявление нестационарности ряда (тесты на идентификацию).

В основу одного из подходов положена проверка условия равенства или неравенства параметра ₁ (из уравнения: Х_t=₀ +₁∙X_t-1 +_t ) единице. То есть проверяется гипотеза Н0: ₁=1 (ряд нестационарный) при альтернативной гипотезе Н1: ₁<1 (ряд стационарный). Это так называемые тесты на единичный корень. Проверка осуществляется с помощью t-статистики Стьюдента.

Другие гипотезы формулируются о стационарности временного ряда и их большинство, несмотря на то, что большинство реальных временных рядов нестационарные. Однако путем взятия конечных разностей нестационарные временные ряды можно преобразовать в стационарные.

Метод разностей и интегрируемость.

Первые разности: ∆Х_t =X_t – X_t-1. Если окажется, что ряд ∆Х_t стационарен, то ряд Х_t называют интегрируемым 1-ого порядка.

Если же ряд ∆Х_t нестационарен, то берут вторые разности: ∆²Х_t =∆X_t – ∆X_t-1. Если окажется, что ряд ∆²Х_t стационарен, то ряд Х_t называют интегрируемым 2-ого порядка.

Если же и ряд ∆²Х_t нестационарен, то берут третьи разности: ∆³Х_t =∆²X_t – ∆²X_t-1и т.д. пока не получат стационарный ряд из конечных разностей.

Если мы получаем первый стационарный ряд после взятия k-кратного взятия разностей, процесс называется интегрируемым k-ого порядка.

Оценка порядка интегрируемости.

1. С помощью интегрируемой статистики IDW (Дарбина-Уотсона):

Н0: ряд нестационарен

Н1: ряд стационарен

Для проверки используют интегрируемую статистику IDW:

.

Если окажется, что IDW[0; IDW_L], то гипотезу Н0 не отвергаем.

Если окажется, что IDW[IDW_U;2], то гипотезу Н1 не отвергаем.

Если окажется, что IDW[IDW_L;IDW_U], то определенного вывода сделать не представляется возможным.

3. Тесты Дики-Фуллера - DF или тесты на единичный корень (базовый метод для определения интегрируемости).

Пусть =₁-1. Тогда: Х_t-Х_t-1 = ∆Х_t = ∙Х_t-1 + _t.

Это эквивалентно: Х_t =(1+)∙Х_t-1 + _t.

Н0: ряд нестационарный 0 (₁=1)

Н1: ряд стационарный 0-ого порядка <0 (₁<1) (т.е. левосторонняя критическая область).

Параметр  из уравнения: ∆Х_t = ∙Х_t-1 + _t оценивается с помощью обычного МНК. Для оценки значимости параметра рассчитывается наблюдаемое значение статистика критерия по формуле t-статистики Стьюдента. Критическое значение находят с помощью статистических таблиц, содержащих пороговые значения DF-статистики. Если t наблюдаемое меньше t табличного, то гипотезу Н0 следует отвергнуть и принять гипотезу Н1.

В случае, если t наблюдаемое больше t табличного, то гипотезу Н0 не отвергают, следовательно можно утверждать, что процесс Х_t нестационарен. Из этого следует дополнительный вывод: либо процесс Х_t интегрируем более высокого порядка, чем нулевой, либо неинтегрируем вообще.

Следующий этап в оценке порядка интегрируемости временного ряда – проверка гипотезы о том, что Х_t интегрируемый процесс 1-ого порядка. Если Н0 не может быть отклонена, то следует проверить Х_t на интегрируемость 2-ого порядка.

На практике редко встречаются процессы интегрируемые выше 2-ого порядка.

Модификация теста Дики-Фуллера для случая автокорреляции в остатках – ADF(k).

∆Х_t = ∙Х_t-1 + _i∙Х_t-i +_t.

С помощью t-критерия Стьюдента оценивается значимость _i. Слагаемые с незначимыми параметрами отбрасываются.

Критерий выбора оптимальной длины лага – информационные критерии Акаике и Шварца:

AIC= .

SC= .

Лучше та модель, для которой критерии Акаике и Шварца меньше.