Конспект лекций по дисциплине Уравнения Математической Физики (УМФ)

)

*

!

"

S(x, t) t=0 = S˜(x0, 0) x0=x0(x,0)

= S0(x0)

x0=x0(x,0) = S0(x).

pOKAVEM

,

^TO

S(x, t)

UDOWLETWORQET URAWNENI@

(4.4).

dLQ

\TOGO PRODIFFERENCIRUEM

RAWENSTWO (5.2) PO t:

xS,

∂X

(x0, t) +

∂S

X(x0, t), t =

∂t

∂t

= P (x0

, t), pH X(x0, t), t, P (x0, t) − H X(x0, t), t, P (x0, t) =

0

−

0

0

= P (x

, t), X˙

H X(x

, t), t, P (x

, t) .

∂S

X(x0, t), t + H X(x0, t), t, P (x0, t) = 0

x0 Ω0, t [0, T ],

∂t

POWERHNOSTX

,

(6.1)

Λ0n = (x, p): x = x0, p = P (x0) = S0(x0), x0 Ω0

.

n p, dx = .b

S0(x), dx = .b dS = S(b) − S(a).

l(a→b) Λ0

a

a

pOSLEDNEE SWOJSTWO, O^EWIDNO,

n

, ^TO INTEGRAL OT FORMY p, dx PO

\KWIWALENTNO TOMU

L@BOMU ZAMKNUTOMU PUTI γ NA Λ0 (RIS. 6.2) RAWEN NUL@:

(6.2)

2 n p, dx = 0.

γ Λ0

oPREDELENIE. gLADKAQ n-MERNAQ POWERHNOSTX Λn W 2n-MERNOM FAZOWOM PROSTRANST-

WE Rx,p2n

NAZYWAETSQ LAGRANVEWOJ POWERHNOSTX@ (MNOGOOBRAZIEM), ESLI ONA OBLADAET

SWOJSTWOM

(6.3)

2 n p, dx = 0.

γ Λ

POWERHNOSTI Λn — MOVNO SFORMULIROWATX NA QZYKE DIFFERENCIALXNYH FORM: FOR-

NYE PLOSKOSTI K Λ

W KAVDOJ TO^KE σ

Λ

QWLQ@TSQ

LAGRANVEWYMI PLOSKOSTQMI. eSLI

POWERHNOSTX Λn

W OKRESTNOSTI TO^KI σ ZADANA

W PARAMETRI^ESKOM WIDE URAWNENIQMI

MA dp

dx NA

n

QWLQETSQ ZAMKNUTOJ

T

E

dp

dx

) Λn = 0,

ILI

^TO TO VE SAMOE

KASATELX

Λ

n

,

.

. (n

,

,

-

x = X(α), p = P (α), GDE α = (α1, . . . , αn) – n-MERNYJ PARAMETR, α U, U – OBLASTX W Rαn,

PRI^EM RANG

n

n MATRICY

∂α

α

∂αj n

n

α

RAWEN n TO USLOWIE

∂P

∂Pi

×

j n

n

(2

)-

∂X

( ) =

∂X

×

( )

,

×

n

×

∂α

∂αi

2n n

−

∂αj

∂αi

(ILI KO-

LAGRANVEWOSTI Λn OZNA^AET, ^TO SKOBKI lAGRANVA m=1

∂αi

∂αj

∂Pm

∂X

∂P ∂X

m

m

m

SOSKALQRNOE PROIZWEDENIE 2n-MERNYH KASATELXNYH WEKTOROW

∂X1

, . . . ,

∂X W TO^-

+

∂P

∂P

∂α

∂αn

KE

ZADA@]EJ TO^KU

n

RAWNY NUL@

α,

σ P (α), X(α) Λ )

:

∂α1

∂αn

n

∂Pm

∂Xm

∂Pm ∂Xm

∂P

∂X

∂P

∂X

(6.4)

m=1

−

=

,

Rn −

,

Rn

= 0,

∂αi

∂αj

∂αj

∂αi

∂αi

∂αj

∂αj

∂αi

NOSTX Λtn, POLU^ENNU@ SDWIGOM POWERHNOSTI Λ0n

ZA WREMQ t WDOLX FAZOWYH TRAEKTORIJ

SISTEMY

gAMILXTONA

(4.6) (RIS. 6.1). |TO OZNA^AET, ^TO KAVDAQ

TO^KA

x = x0, p = S(x)

Λ0n

ZA WREMQ t PEREHODIT W TO^KU x = X(x0, t), p = P (x0, t)

WDOLX

FAZOWOJ TRAEKTORII

Lx0

(

ZADAWAEMOJ SISTEMOJ

(4.8)).

w MOMENT WREMENI

t OB_

EDINENIE

SAMOE, FORMULOJ

t

WZAIMNO ODNOZNA^NO

t [0, T ].

(6.5)

Λtn = (x, p): x = X(x0, t),

p = P (x0, t), x0

Ω0

,

w SILU USLOWIQ (4.10) POWERHNOSTX Λn

PROEKTIRUETSQ NA KONFIGU-

GDE P (x, t) = P

x0(x, t), t , x0(x, t) – GLADKIJ KORENX URAWNENIQ x = X(x0, t), x0 Ω0.

lEMMA

gAMILXTONA OZNA^AET TOGDA

,

^TO DEJSTWIE

S = S(x, t) —

RE[ENIE ZADA^I kO[I

DLQ URAWNENIQ gAMILXTONA–qKOBI (4.4) S NA^ALXNYM USLOWIEM (4.5) — QWLQETSQ (PRI

FIKSIROWANNOM t) PROIZWODQ]EJ FUNKCIEJ \TOJ POWERHNOSTI, TAK ^TO Λtn

MOVNO ZADATX

URAWNENIEM

p = P (x, t) = xS(x, t).

oTS@DA SLEDUET, ^TO n-MERNAQ POWERHNOSTX Λtn

W 2n-MERNOM FAZOWOM PROSTRANSTWE TAK

NATAMI (x, t, p, pt) (R2n+2 = Rx,p2n ×Rt,p2

t ). w PROSTRANSTWE R2n+2 OPREDELIM (n+1)-MERNU@

POWERHNOSTX

(6.6)

-

(RIS. 6.3). |TA POWERHNOSTX ODNOZNA^NO PROEKTIRUETSQ NA RAS[IRENNOE

Λ[0n+1,T ] = (x, t, p, pt): x = X(x0, t), p = P (x0, t), pt = −H(x, t, p), x0 Ω0

, t [0, T ]

KONFIGURACI

ONNOE PROSTRANSTWO S KOORDINATAMI (x, t) I IMEET KRAJ — n-MERNU@ LAGRANVEWU

TAK VE, KAK I Λtn, GDE t [0, T ], QWLQETSQ ODNOSWQZNOJ.

tOT

n

PROIZWODQ]AQ FUNKCIQ

n+1

POWERHNOSTX

Λ0

= (x, t, p, pt): (x, p)

Λ0 ,

t = 0, pt = −H(x, 0, p)

. pOWERHNOSTX Λ[0,T ]

FAKT

,

^TO DEJSTWIE

S(x, t) (

MERNOJ LAGRANVEWOJ PO

-

n-

∂S

n+1

gAMILXTONA–qKOBI

= −H x, t, xS(x, t) ,

OZNA^AET,

^TO

POWERHNOSTX

Λ[0,T ]

∂t

W (2n + 2)-MERNOM RAS[IRENNOM FAZOWOM

PROSTRANSTWE

(

TAK VE

,

KAK I

n

2n

QWLQ

-

Λt

W Rx,p)

ETSQ LAGRANVEWOJ.

dLQ DOKAZATELXSTWA POSLEDNEGO FAKTA WY^ISLIM INTEGRAL

pt dt + p, dx PO

n+1

l(a→b)3 Λ[0,T]

Λtn, t = const, pt

= −H(x, t, p) (RIS. 6.3), IMEEM

NOSTI Λtn = (x, t, p, pt): (x, p)

n+1

p = xS(x, t), A IZ FORMULY (6.6), ZADA@]EJ POWERHNOSTX Λ[0,T ] I URAWNENIQ gAMILXTO-

NA–qKOBI SLEDUET, ^TO

∂S

oTS@DA

∂t (x, t).

pt = −H(x, t, p) (x,p) Λetn = −H x, t, xS(x, t) =

b

b

.

pt dt + p, dx = .

∂S

dt +

xS(x, t), dx

= . dx,tS = S(b) − S(a).

n+1

∂t

l(a b)

Λ[0,T]

a

a

→

(6.7)

p =

∂S

(x, t),

pt =

∂S

(x, t),

∂x

∂t

GDE TO^KA (x, t) PROBEGAET

n+1

n+1

, UKAZANNU@ W TEOREME 4.1. uSLOWIE (4.10)

Πx,t Rx,t

POLOSU

WANIQ πx,t:

n

n+1

R2 +2

→ Rx,t

OTLI^EN OT NULQ:

=

D X x

, t

, t

∂X(x0, t) ∂X(x0, t)

(6.8) J(x0, t) =

( 0 )

= det

∂x0

∂t

D

x , t

( 0

)

0

1

=

DX(x0, t)

= Jx(x0, t) = 0, x0 Ω0, t [0, T ].

Dx0

w SILU SWOJSTWA LAGRANVEWOSTI POWERHNOSTI Λn+1

(S TO^NOSTX@

[0,T ] NA NEJ OPREDELENA

DO ADDITIWNOJ POSTOQNNOJ

)

FUNKCIQ

˜

GDE

σ –

PROIZWOLXNAQ TO^KA NA

n+1

|TA

S(σ),

Λ[0,T ].

FUNKCIQ ZADAETSQ FORMULOJ

(6.9)

S˜(σ) =

→

.

n+1

pt dt + p, dx

+ S˜(σ0).

l(σ0

σ)

Λ[0,T]

zDESX σ0 — NEKOTORAQ FIKSIROWANNAQ TO^KA NA Λ[0n+1,T ], A l(σ0 → σ) — PROIZWOLXNYJ

GLADKIJ PUTX, LEVA]IJ NA Λn+1

σ0 I σ.

[0,T ] I SOEDINQ@]IJ TO^KI

fUNKCI@ ˜

ZADANNU@ NA POWERHNOSTI

n+1

W KLASSI^ESKOJ ME

-

S(σ),

Λ[0,T ] FORMULOJ (6.9),

HANIKE NAZYWA@T DEJSTWIEM (TAK VE, KAK I RE[ENIE ZADA^I kO[I (4.4)–(4.5) S(x, t)).

˜

n+1

SOWPADAET S FUNKCIEJ S(x, t), ESLI POSTOQNNU@

dEJSTWIE S

NA POWERHNOSTI Λ[0,T ]

˜

n

S(σ0) SOGLASOWATX S NA^ALXNYMI DANNYMI (4.5), WYBRAW (PROIZWOLXNO) TO^KU σ0 NA Λ0

(RIS. ) I POLOVIW S˜(σ0) = S0(x0 ), GDE (x0

, t = 0) – KOORDINATY, OPREDELQ@]IE \TU TO^-

WYBEREM

W \TOM SLU^AE W (6.9) W KA^ESTWE PUTI l(σ0

→

σ) PUTX,

,

KU σ0: σ0

x = x0 , t = 0, p = (

xS0)(x0 ), pt =

−

dEJSTWITELXNO

GAMILXTONOWOJ SISTEMY (4.6):

→

SOSTAWLENNYJ IZ DWUH

OTREZKOW : PUTI l1(σ0 → σ1) = l1 WDOLX NA^ALXNOJ LAGRANVEWOJ POWERHNOSTI Λ0n DO TO^-

KI σ1 S KOORDINATAMI (x0, t = 0),

x0

Ω0, I PUTI l2(σ1

σ) = l2 WDOLX TRAEKTORII

NA POWERHNOSTI Λn+1 . tOGDA IZ FORMULY (6.9) W KOORDINATAH (x0, t) TO^KI σ NAJDEM, ^TO

[0,T ]

(6.10)

.

S˜(x0, t) = S˜(σ) =

pt dt + p, dx + S0(x0 ) =

.

l1(σ0→σ1) l2(σ1→σ)

.

=

n

pt dt + p, dx +

→

n+1

pt dt + p, dx + S0(x0 ) =

l1(σ0

→

Λe0

l2(σ1

Λ[0,T]

σ1)

σ)

=x.

∂x0

(x0), dx0 + .

−H + p, ∂p X(x0, τ), τ, P (x0, τ) dτ + S0(x0 ).

x0

∂S

t

∂H

0

0

zDESX MY ISPOLXZOWALI TOT FAKT, ^TO NA SE^ENII Λ0n dt|Λe0n = 0, A W SILU WIDA SISTEMY

S˜(x0, t), SOWPADAET S DEJSTWIEM WDOLX TRAEKTORII,

(4.9).

gAMILXTONA

˙

∂H

o^EWIDNO

^TO FUNK

(4.6)

dx

=

X

(

x

, τ

)

dτ

= ∂p

τ, P

(

x

, τ

)

dτ

.

,

-

0

X(x0, τ),

0

CIQ

OPREDELQEMYM FORMULOJ

tAKIM OBRAZOM

PROSTYM INTEGRIROWANIEM

FORMY

pt dt + p, dx

PO LAGRANVEWOJ

n+1

,

1-

POWERHNOSTI Λ[0,T ] RE[ENIE ZADA^I kO[I (4.4)–(4.5) DLQ URAWNENIQ gAMILXTONA–qKOBI

WOSSTANAWLIWAETSQ PO ZNA^ENI@ DEJSTWIQ ˜

NA

n+1

SOGLASOWANNOMU S NA^ALXNYMI

S(σ)

Λ[0,T ],

DANNYMI LI[X W ODNOJ TO^KE.

dADIM TEPERX DRUGOE PREDSTAWLENIE DLQ DEJSTWIQ S(x, t), ZADAWAEMOGO

FORMULA-

MI (4.9) I (4.11), SWQZAW EGO S IZOHRONAMI Λn – SE^ENIQMI POWERHNOSTI Λn+1

-

RE[ENIJ ZADA^I kO[I DLQ URAWNENIJ

t

(

[0,T ] PLOSKOSTQ

DEJSTWIE S(x0 , t) WDOLX FIKSIROWANNOJ

FAZOWOJ TRAEKTORII

Lx0 :

t

∂H

(6.11)

pt dt +

p, dx

=

p,

H

dτ = S(x0 , t).

.

.

∂p −

p=P (x ,τ),

σ2)

x=X(x00 ,τ)

l3(σ0

0

→

) x0

Λn

a PRI INTEGRIROWANII WDOLX PUTI l

σ

σ

dt

n = 0) NAJDEM, ^TO

.

4(

2

→

t (

|Λet

pt dt + p, dx =x. P (x0, t) dX(x0, t).

l4(σ2 σ)

0

→

˜

n+1

oTS@DA I IZ FORMUL (6.9), (6.10) DLQ DEJSTWIQ S(σ) NA POWERHNOSTI Λ[0,T ] POLU^AEM

SLEDU@]EE PREDSTAWLENIE (W KOORDINATAH (x0, t)):

(6.12)

S˜(σ) = S˜(x0, t) = S0(x0 ) + S(x0 , t) +

.

n p, dx ,

l(rt(x0 )→rt(x0)) Λt

GDE l – PROIZWOLXNYJ PUTX NA POWERHNOSTI Λtn Rx,p2n , SOEDINQ@]IJ TO^KI rt(x0 ) =

= X(x0

, t), P (x0 , t) I rt(x0) =

X(x0, t), P (x0, t) , LEVA]IE NA Λtn. pEREHODQ W (6.12)

K

KOORDINATAM

x

W KONFIGURACIONNOM PROSTRANSTWE

n

Rx W SILU FORMULY

DLQ RE[ENIQ S(x, t) ZADA^I kO[I (4.4)–(4.5):

rt(x0)

(6.13)

S(x, t) = S˜ x0(x, t), t

= SKL.(x0 , t) +

p, dx

,

.

rt(x0 )

x0=x0(x,t)

DEJSTWIE WDOLX

3

Lx0 .

GDE SKL.(x0 , t) = S0(x0 ) +

t

p, ∂H∂p

X(x0 , τ), τ, P (x0 , τ)

0

− H

dτ — KLASSI^ESKOE

PROSTRANSTWE Rx,p2n

OTWE^AET (n − 1)-MERNAQ POWERHNOSTX

Λ0n−1

= 0(x, p): x = X0(ξ), p = P 0

(ξ), ξ D1,

TELXNO, NA POWERHNOSTI Λ

n OPREDELENA FUNKCIQ ˜

n

):

S˜(σ) = .

S (DEJSTWIE NA Λ

(6.14)

p, dx + S0(σ0),

zDESX l(σ0 → σ) — PROIZWOLXNYJ

l(σ0→σ)

c

n

,

σ0

Λ0n−1 (RIS. ).

SOGLASOWANNAQ S DANNYMI kO[I W FIKSIROWANNOJ TO^KE σ0 X

0(ξ ), P 0(ξ )

WYBRATX PUTX l(σ0 → σ)

GLADKIJ PUTX

SOEDINQ@]IJ TO^KU

PROIZWOLXNOJ

= l(σ0

→ σ1) l(σ1

→ σ) (RIS. ), GDE l(σ1

→ σ) — FAZO-

TO^KOJ σ x = X(ξ, τ), p = P (ξ, τ)

NA Λ . eSLI TEPERX W (6.14) W KA^ESTWE PUTI l(σ0 → σ)

uPRAVNENIE. dOKAVITE \TO UTWERVDENIE.

.

E

wEKTORNOE POLE vH (x, p) =

pH

(x, p), − xH(x, p) , POROVDA@]EE SISTEMU (4.18)

NAZY-

WAETSQ GAMILXTONOWYM POLEM S

GAMILXTONIANOM H oBOZNA^IM ^EREZ M POWERHNOSTX

UROWNQ FUNKCII H:

ME =

(x, p): H(x, p) = E, E R . pRI

USLOWII,

^TO

( xH, pH) ME = 0 POWERHNOSTX ME ESTX GLADKAQ POWERHNOSTX (PODMNOGOOBRAZIE) RAZ-

MERNOSTI (2n − 1) W FAZOWOM PROSTRANSTWE Rx,p2n

SISTEMY gAMILXTONA. uSLOWIE (4.16)

OZNA^AET, ^TO

TO^KI NA^ALXNOJ LAGRANVEWOJ POWERHNOSTI Λ0n−1

LEVAT NA NULEWOJ PO-

WERHNOSTI UROWNQ M

M

H

oTS@DA I IZ TOGO

^TO H(x, p)

0 =

E|E=0 GAMILXTONIANOM

.

,

n TAKVE

ESTX PERWYJ INTEGRAL SISTEMY (4.18) SLEDUET, ^TO LAGRANVEWA POWERHNOSTX Λ

LEVIT NA NULEWOJ POWERHNOSTI UROWNQ M0: H X(ξ, τ), P (ξ, τ)

= H X(ξ, 0), P (ξ, 0)

=

0

0

O^EWIDNO

^TO W SILU POSTROENIQ

n GAMILXTONOWO

= H X

(ξ), P

(ξ)

= 0. pRI \TOM

n

,

Λ

WEKTORNOE POLE

vH

KASAETSQ POWERHNOSTI

Λ

W KAVDOJ EE TO^KE

.

nA OSNOWANII PREDYDU]IH RASSUVDENIJ MY PRIHODIM K ^ISTO GEOMETRI^ESKOJ FOR-

MULIROWKE ZADA^I kO[I DLQ URAWNENIQ gAMILXTONA–qKOBI (4.13), KOTORU@ NAZOWEM LA-

GRANVEWOJ ZADA^EJ kO[I.

pUSTX W FAZOWOM PROSTRANSTWE Rx,pn

ZADANA LAGRANVEWA POWERHNOSTX Λ0n−1

RAZMERNOS-

TI

(n

− 1),

LEVA]AQ

NA

NULEWOJn

1POWERHNOSTI

UROWNQ

GAMILXTONIANA

H:

Λ

n

1

−

(x, p): H(x, p) = 0 . i PUSTX Λ

−

ODNOZNA^NO PROEKTIRUETSQ NA KONFIGURACI-

0

oBOZNA^IM ^EREZ

0n

1

n

1

n

ONNOE PROSTRANSTWO. 2n

x

γ

−

PROEKCI@ Λ0

−

NA

Rx

— OBRAZ OTOBRAVENIQ

TONOWO WEKTORNOE POLE vH NE KASAETSQ Λ0n−1

NI W ODNOJ EE TO^KE (vH |Λ0n−1 – TRANSWERSALX-

NO Λ0n−1). rAZMER OKRESTNOSTI V (γn−1) OPREDELQETSQ USLOWIEM (4.22) (QKOBIAN J(ξ, τ)

OTOBRAVENIQ PROEKTIROWANIQ πx

Λn−1 OTLI^EN OT NULQ). w \TOM SLU^AE LAGRANVEWA PO-

|

0

OB]ENIE. w EE POSTANOWKE MOVNO S^ITATX, ^TO Λn−1

0 QWLQETSQ NE TOLXKO LAGRANVEWOJ

POWERHNOSTX@ (WZAIMNO ODNOZNA^NO PROEKTIRU@]EJSQ NA KONFIGURACIONNOE PROSTRAN-

STWO), NO I PROIZWOLXNYM (n − 1)-MERNYM LAGRANVEWYM

n

1

,

n

MNOGOOBRAZIEM

LEVA]IM NA

ZATELXNO QWLQETSQ GIPERPOWERHNOSTX@ W Rx, A MOVET BYTX I

−

NULEWOJ POWERHNOSTI UROWNQ GAMILXTONIANA. pRI \TOM PROEKCIQ πx

Λ0

NA Rx NE OBQ-

n

PODMNOGOOBRAZIEM L@BOJ

RAZMERNOSTI, W ^ASTNOSTI SOSTOQTX IZ ODNOJ TO^KI.

pRIMER 6.1. dLQ NESTACIONARNOGO URAWNENIQ gAMILXTONA–qKOBI RASSMOTRIM W R2n+2

n-MERNOE MNOGOOBRAZIE

n

x

ξ, t

, p

Rn, p

H

ξ, , p ,

(6.15)

Λ0

=

=

n

= 0

p

t = −

(

0

)

n

GDE ξ

–

FIKSIROWANNAQ TO^KA W

Rx

(

RIS

. ). o^EWIDNO (PO POSTROENI@), ^TO Λ0

– LA-

GRANVEWO MNOGOOBRAZIE

LEVA]EE NA NULEWOJ POWERHNOSTI UROWNQ FUNKCII gAMILXTO

NA

H

= p + H(x, t, p):

,

n = 0. pROEKCIQ Λn

NA

Rn+1

– TO^KA (x = ξ, t = 0).

-

t

H|Λe0

0

x,t

URAWNENIQ gAMILXTONA qKOBI S GAMILXTONIANOM

pRIMER 6.2. dLQ

STACIONARNOGO

–

2

2

n

n

OPREDELIM

H(x, p) = −p + n (x), GDE p Rp , n(x) – GLADKAQ FUNKCIQ, x Rx, n(x) > 0,

W

(n

−

1)-MERNOE MNOGOOBRAZIE Λn−1

, QWLQ@]EESQ PRQMYM PROIZWEDENIEM SFERY Sn−1

n

0

n

IMPULXSNOM PROSTRANSTWE Rp

NA FIKSIROWANNU@ TO^KU x = ξ, ξ Rx: