Конспект лекций по дисциплине Уравнения Математической Физики (УМФ)

Добавил:

ICK Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Предмет:

Уравнения математической физики. Методы математической физики.

Файл:

, t) = S0(x0) +

x=X(x ,τ), dτ.

p=P (x00,τ)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2014

Размер:

524.43 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Rnx, ZAPISYWAETSQ

§4 nELINEJNYE u~p PERWOGO PORQDKA. uRAWNENIE gAMILXTONA–qKOBI

4.1oSNOWNYE OPREDELENIQ I POSTANOWKA ZADA^I kO[I DLQ NESTACIONARNOGO URAWNENIQ gAMILXTONA–qKOBI

oB]IJ WID NELINEJNOGO u~p PERWOGO PORQDKA :

			∂u
(4.1)	L	x,	∂x	, u	= 0,

GDE x = (x1, . . . , xn) Rxn,	∂u	=	∂u	, . . . ,	∂u	, A L(x, p, u) – GLADKAQ WE]ESTWENNAQ

	∂x		∂x1		∂xn

FUNKCIQ WSEH SWOIH (2n + 1) ARGUMENTOW. ~ASTNYJ SLU^AJ \TOGO URAWNENIQ

(4.2)

∂u

= 0

∂x

NAZYWA@T URAWNENIEM gAMILXTONA

–

qKOBI

A FUNKCI@

L(x, p)

PEREMENNYH

I p Rp – FUNKCIEJ gAMILXTONA ILI GAMILXTONIANOM.

n+1

rASSMOTRIM ^ASTNYJ SLU^AJ URAWNENIQ gAMILXTONA–qKOBI W PROSTRANSTWE Rx

KOGDA L QWLQETSQ LINEJNOJ FUNKCIEJ PO ODNOJ IZ SWOIH PEREMENNYH p Rnp+1, NAPRIMER, PO KOORDINATE pn+1. oBOZNA^IM SOPRQVENNU@ pn+1 PEREMENNU@ xn+1 ^EREZ t (xn+1 = t), S^ITAQ, ^TO t – FIZI^ESKOE WREMQ. tOGDA URAWNENIE (4.2) PRIMET WID

(4.3)	L =	∂u	+ H x1, x2, . . . , xn, t,	∂u	,	∂u	, . . . ,	∂u	= 0.

		∂t		∂x1		∂x2		∂xn

w KLASSI^ESKOJ MEHANIKE PRINQTO OBOZNA^ATX W \TOM SLU^AE NEIZWESTNU@ FUNKCI@ u(x, t) ^EREZ S(x, t) I NAZYWATX EE DEJSTWIEM [ ], A SOOTWETSTWU@]EE URAWNENIE (4.3) – NE-

STACIONARNYM URAWNENIEM gAMILXTONA–qKOBI. tAKIM OBRAZOM, NESTACIONARNOE URAW-

NENIE gAMILXTONA–qKOBI OTNOSITELXNO FUNKCII (n + 1) PEREMENNOJ S(x, t), GDE t R – WREMQ, A x = (x1, x2, . . . , xn) – TO^KA KONFIGURACIONNOGO PROSTRANSTWA

W WIDE

(4.4)	∂S	+ H	x, t,	∂S	= 0.

	∂t			∂x

zDESX H(x, t, p) – GLADKAQ FUNKCIQ WSEH SWOIH PEREMENNYH, KOTORAQ TAKVE NAZYWAETSQ

FUNKCIEJ gAMILXTONA.

dLQ URAWNENIQ (4.4) POSTAWIM ZADA^U kO[I S NA^ALXNYM USLOWIEM

(4.5)	S\|t=0 = S0(x),	x Ω0 Rxn,
GDE S0(x) C∞(Ω0) – GLADKAQ FUNKCIQ.

nIVE IZLOVIM ALGORITM RE[ENIQ \TOJ ZADA^I, A TAKVE POSTANOWKU I ALGORITM RE- [ENIQ ZADA^I kO[I DLQ SLU^AQ OB]EGO (STACIONARNOGO) URAWNENIQ gAMILXTONA–qKO-

BI (4.2).

4.2aLGORITM a3 RE[ENIQ ZADA^I kO[I

DLQ NESTACIONARNOGO URAWNENIQ gAMILXTONA–qKOBI

rASSMOTRIM ZADA^U (4.4)–(4.5).

1◦. wYPISATX HARAKTERISTI^ESKU@ SISTEMU DLQ (4.4) – SISTEMU gAMILXTONA W 2n-MERNOM

FAZOWOM PROSTRANSTWE R2n = Rnp × Rnx, GDE Rnx – KONFIGURACIONNOE PROSTRANSTWO, Rnp – IMPULXSNOE PROSTRANSTWO:

x˙ = pH(x, t, p),

(4.6)

p˙ = − xH(x, t, p).

fUNKCIQ gAMILXTONA (KLASSI^ESKIJ GAMILXTONIAN) H(x, t, p) OPREDELQETSQ PO WI-

DU (4.4).

2◦. pOSTAWITX DLQ (4.6) ZADA^U kO[I:

(4.7)

Ω0

S x

S x ,

p|t=0 =

x 0

= ( x 0)( 0) = ( 0)x( 0)

|t=0 = x 0( )

x=x0

I NAJTI n-

(x0 –

n-MERNYJ PARAMETR)

SEMEJSTWO RE[ENIJ ZADA-

PARAMETRI^ESKOE

^I (4.6)–(4.7) NA OTREZKE [0, T ],

T > 0:

x = X(x0, t),

(4.8)

Lx0 : p = P (x0, t),

0 ≤ t ≤ T.

Lx0 R

– HARAKTERISTIKA, ILI FAZOWAQ

n ,

STARTU@]AQ IZ TO^KI

(x0, p0),

TRAEKTORIQ

GDE

S0(x0) (RIS.

4.1). pROEKCIQ Lx0

NA Rx ESTX LU^ , ILI TRAEKTORIQ

x =

X(x0, t), 0 ≤ t ≤ T , KLASSI^ESKOJ ^ASTICY, STARTU@]AQ IZ TO^KI x0 S NA-

^ALXNYM IMPULXSOM p0 = S0(x0).

lU^ x = X(x0,t) NA OTREZKE [0,T] ( t x = X(x0,t) — KOORDINATY LU^A ).

3◦. wY^ISLITX DEJSTWIE NA HARAKTERISTIKE Lx0 :

4◦. rAZRE[ITX PERWYE n URAWNENIJ SISTEMY (4.8) OTNOSITELXNO PARAMETRA x0, PREDPO-

LAGAQ, ^TO QKOBIAN
(4.10)	Jx(x0, t) =	DX(x0, t)	= 0	(x0 Ω0, 0 ≤ t ≤ T ):

		Dx0
		x = X(x0, t) x0 = x0(x, t).
5◦. pOSTROITX FUNKCI@			S˜(x0		x0=x0(x,t).
(4.11)		S(x, t) =	S˜(x0	, t)	x0=x0(x,t).
			)		*

tEOREMA 4.1. pUSTX FUNKCIQ H(x, t, p) DWAVDY NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA PO WSEM

SWOIM ARGUMENTAM, S0(x) C(2)

Rxn

I PUSTX

pH(x, t, p)

0. tOGDA FORMULA (4.11)

OPREDELQET EDINSTWENNOE

DIFFERENCIRUEMOE PO

x I t RE[ENIE

ZADA^I kO[I (4.4)–(4.5)

W ”POLOSE” Πx,t = (x, t)

Rn+1: x

= X(x

, t), x

Ω ,

[0, T ],

Jx(x

, t) = 0

(RIS. 4.2).

dOKAZATELXSTWO BUDET PRIWEDENO NIVE (SM. §5).

pRIMER 4.1. sLEDUQ PUNKTAM ALGORITMA a3, NAJDEM RE[ENIE ZADA^I kO[I

∂S

αx2

∂S

∂t

+ 2m ∂x

= 0,

x R1, t > 0, m > 0,

= S0(x) = ,

S(x, t)

t=0

1) iMEEM DLQ H(x, t, p) =

SISTEMU gAMILXTONA

∂

−∂x

x˙ =

∂pH(x, t, p) = m,

KOTORAQ \KWIWALENTNA

∂

p˙ =

H(x, t, p) = 0,

URAWNENI@ nX@TONA

¨ =

x = 0.

2) nA^ALXNYE DANNYE DLQ NEE:

x t=0 = x0,

p|t=0 = S0

(x0) = αx0,

A ZNA^ENIE FUNKCII gAMILXTONA NA FAZOWOJ TRAEKTORII Lx0

		p2			α2x	2
H\|Lx0	=	2m	Lx0	=	2m0		= EKIN

ESTX KINETI^ESKAQ \NERGIQ ^ASTICY MASSOJ m, DWIVU]EJSQ RAWNOMERNO I PRQMOLI- NEJNO:

αx0

x = x0 + m t = X(x0, t), p = αx0 = const.

3) wY^ISLIM

∂H

− H = p

−

p2 =

∂p

αx 2

2x 2

S˜(x0, t) =

20 + .

2m p=αx0 dt =

20 +

2 0 t,

αx0

αt

x = x0 +

t = x0 1 +

x0 =

= x0(x, t),

1 +

αt

S^ITAQ, ^TO

αt

∂X

(4.12)

1 +

= Jx

(x0, t) =

(x0, t) = 0.

∂x0

4)tOGDA RE[ENIE ISHODNOJ ZADA^I kO[I ZADAETSQ (PRI WYPOLNENII USLOWIQ (4.12)) FORMULOJ

S(x, t) =

x02

1 +

(

≡

1 +

αt

αx2

αt

αx2

αt

1+ αt

2 1 +

1 +

	2			SU]ESTWUET GLADKOE RE[ENIE ZADA^I
tAKIM OBRAZOM, POLOSKA Πx,t Rx,t, W KOTOROJ										,
					1		ESLI
ZAWISIT OT ZNA^ENIJ PARAMETRA α:	ESLI	α ≥ 0,	TO		Πx,t = Rx	× [0, +∞),		α < 0,	TO
	m

Πx,t = R1x × [0, T ], GDE T < t , t = − α .

zAME^ANIE. eSLI RASSMOTRETX BOLEE OB]EE URAWNENIE, ^EM (4.4), WIDA

∂S

∂t + H(x, t, xS, S) = 0,

TO W \TOM SLU^AE ALGORITM RE[ENIQ ZADA^I kO[I ANALOGI^EN. pRI \TOM HARAKTERISTI- ^ESKAQ SISTEMA DLQ \TOGO URAWNENIQ W PROSTRANSTWE R2n+1 IMEET WID

x˙ = pH,	∂H	,
p˙ = −xH − p	∂S	,

˙

S = p, pH − H(x, t, p, S).

4.3zADA^A kO[I DLQ STACIONARNOGO URAWNENIQ gAMILXTONA–qKOBI I ALGORITM a4 EE RE[ENIQ

rASSMOTRIM STACIONARNOE URAWNENIE gAMILXTONA–qKOBI

		∂S
(4.13)	H x,	∂x	= 0, x Rn.

zADA^EJ kO[I DLQ URAWNENIQ (4.13) NAZYWAETSQ SLEDU@]AQ ZADA^A: NAJTI RE[ENIE URAW- NENIQ, UDOWLETWORQ@]EE NA GLADKOJ GIPERPOWERHNOSTI

	x: x = X0(ξ), ξ = (ξ1, . . . , ξn−1) D, rank		∂X0			(ξ) = n − 1/
γn−1 =			i	n
γn−1 =			∂ξj	n	(n 1)
			×		−
DANNYM						ξ
W Rxn, GDE X0(ξ) – ZADANNAQ GLADKAQ WEKTOR-FUNKCIQ, D – OBLASTX W Rn−1, NA^ALXNYM
(4.14)		S\|γn−1 = S0(ξ),
(4.15)		S\|γn−1 = P 0(ξ),
GDE S0 I P 0 – ZADANNYE GLADKIE FUNKCIQ I WEKTOR-FUNKCIQ, POD^INENNYE USLOWIQM
(4.16)
		(SOGLASOWANIQ γn−1 I P 0(ξ) S URAWNENIEM (4.13));
H X0(ξ), P 0(ξ) = 0		(SOGLASOWANIQ γn−1 I P 0(ξ) S URAWNENIEM (4.13));
(4.17)
	n

dS0(ξ) =	P 0i(ξ) dX0i(ξ)	(SOGLASOWANIQ P 0 S DIFFERENCIALOM FUNKCII S0).

i=1

aLGORITM a4 RE[ENIQ ZADA^I kO[I (4.13)–(4.17)

1◦. wYPISATX HARAKTERISTI^ESKU@ SISTEMU DLQ URAWNENIQ (4.13) — SISTEMU gAMILXTO- NA S GAMILXTONIANOM H(x, p):

(4.18)

x˙ = pH(x, p), p˙ = −xH(x, p),

GDE (x, p) R2n, x˙ =		dx		dp
			, p˙ =		, I NAJTI (n−1)-PARAMETRI^ESKOE (ξ – (n−1)-MERNYJ
		dτ	, p˙ =	dτ	, I NAJTI (n−1)-PARAMETRI^ESKOE (ξ – (n−1)-MERNYJ
PARAMETR) SEMEJSTWO EE RE[ENIJ:
					x = X ξ, τ		,
(4.19)			Lξ: p = P ((ξ, τ))					(\|τ	\| < τ0)
S NA^ALXNYMI DANNYMI
(4.20)					x τ=0 = X0(ξ),
(4.20)					p\|τ=0 = P 0(ξ).
			\|
2◦. wY^ISLITX DEJSTWIE NA HARAKTERISTIKE Lξ:
					τ
			0
(4.21)	S˜(ξ, τ) = S0(ξ) +					p,		pH(x, p)		x=X(ξ,τ , dτ .
			.							p=P (ξ,τ ))
			.							p=P (ξ,τ ))

3◦. rAZRE[ITX PERWYE n URAWNENIJ SISTEMY (4.19) OTNOSITELXNO τ I ξ Rn−1 W PREDPOLOVENII, ^TO WYPOLNENO USLOWIE

(4.22)

(4.23)

4◦. pOSTROITX FUNKCI@

(4.24)

J	ξ, τ	) =		DX(ξ, τ)	,	D, τ		\|	< τ	:
J	ξ, τ			D(ξ, τ)	,	D, τ			< τ
(				D(ξ, τ)	= 0 ξ		\|		0
		x = X(ξ, τ)				ξ = ξ(x),
		x = X(ξ, τ)				τ = τ(x).
			S(x) = S˜(ξ, τ)

						ξ=ξ(x) .
			)		*
			)		*	τ=τ(x)

tEOREMA 4.2. pUSTX WYPOLNENO USLOWIE ”TRANSWERSALXNOSTI”
		∂X0
(4.25)	det	i	, pH X0(ξ), P 0(ξ) = 0.
		∂ξj
tOGDA	FORMULA (4.24) OPREDELQET			EDINSTWENNOE	GLADKOE RE[ENIE	ZADA^I kO[I
(4.13)–(4.15) W OKRESTNOSTI V (γ) =						, J(ξ, τ) = 01.
			0x Rn: x = X(ξ, τ), ξ D, \|τ\| < τ0

dOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY PO^TI DOSLOWNO POWTORQET DOKAZATELXSTWO TEOREMY 4.1.

uPRAVNENIE. dOKAVITE TEOREMU 4.2.

pRIMER 4.2. dLQ URAWNENIQ \JKONALA W GEOMETRI^ESKOJ OPTIKE (SM. TAKVE PUNKT ??).

∂S

(4.13 )

= 1,

(x1, x2) R2,

∂x1

∂x2

RE[IM ZADA^U kO[I S NA^ALXNYMI USLOWIQMI

(4.14 )

S|γ = S0 = 0,

(4.15 )

γ = P 0(ξ),

GDE γ – OKRUVNOSTX x12 + x22 = 1.

wWEDEM ESTESTWENNU@ PARAMETRIZACI@ KRIWOJ γ:

x1 = X01(ξ) = cos ξ,

x2 = X02(ξ) = sin ξ,

ξ [0, 2π].

nAJDEM WEKTOR

(ξ) = P

USLOWIJ SOGLASOWANIQ

(4.16 )

(0ξ), P0 2(ξ) IZ0

+ P

− 1 = 0,

H P 1, P

= P

0 = P 01(ξ) dX01(ξ) + P 02(ξ) dX0

2(ξ) = P 01(ξ) d(cos ξ) + P 02(ξ) d(sin ξ) =

(4.17 )

−P 01(ξ) sin ξ dξ + P 02(ξ) cos ξ dξ.

rE[ENIE POSLEDNEJ SISTEMY:

P±0

1(ξ) = ± cos ξ,

P±0

2(ξ) = ± sin ξ.

oTS@DA USLOWIE (?? ) PRINIMAET WID

cos ξ

(4.15 )

S±

γ =

± sin ξ .

tAKIM OBRAZOM, W ZAWISIMOSTI OT WYBORA ZNAKA ( + ILI − ) MY POLU^AEM ODNU IZ DWUH ZADA^ kO[I WIDA (?? )–(?? ). rE[ENIQ \TIH ZADA^ BUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ S±(x). sLEDUQ PUNKTAM ALGORITMA a4, NAJDEM S±(x).

1)gAMILXTONIAN DLQ URAWNENIQ (?? ) IMEET WID H(x, p) = p12 + p22 − 1. wYPISYWAEM SISTEMU gAMILXTONA:

x˙ = 2p ,

1 1

x˙ 2 = 2p2,

p˙1 = 0,

p˙2 = 0.

2) nA^ALXNYE USLOWIQ DLQ NEE:

	x1 τ=0 = cos ξ,
	\|
	\|		±
	\|		±
x2\|τ=0		= sin ξ,
p1± τ=0 =				cos ξ,


			± sin ξ.
p2±\|τ=0		=	± sin ξ.

nAHODIM RE[ENIE POLU^ENNOJ ZADA^I kO[I:

	x1±
(4.19 )	x2±
(4.19 )
	p1±

p±2

=cos ξ ± 2τ cos ξ = cos ξ · (1 ± 2τ),

=sin ξ ± 2τ sin ξ = sin ξ · (1 ± 2τ),

=± cos ξ,

=± sin ξ.

3) wY^ISLIM

τ
0						τ
τ	(2p 2		p1= cos ξ, dτ =			τ
S˜±(ξ, τ) =	(2p 2	+ 2p 2)	p1= cos ξ, dτ =
.	1	2	p2=±± sin ξ
0					=	0	2 · 1 dτ = 2τ.
= .	2 (± cos ξ)2 + (± sin ξ)2			dτ	=	.	2 · 1 dτ = 2τ.

4)rAZRE[IM PERWYE DWA URAWNENIQ SISTEMY (?? ) OTNOSITELXNO τ. wOZWEDQ W KWADRAT I SLOVIW OBE ^ASTI \TIH URAWNENIJ, NAHODIM

τ± =

√

− 1

x12 + x22

√

2±2

−

− 1

τ2± =

x1 + x2

±2

pRI \TOM QKOBIAN IMEET WID

J± = det

− sin ξ · (1 ± 2τ)

±2 cos ξ

−

4τ.

cos ξ · (1 ± 2τ)

±2 sin ξ

5) o^EWIDNO, ^TO WTOROJ IZ \TIH KORNEJ NE UDOWLETWORQET NA^ALXNOMU USLOWI@. tOGDA

S±(x) = ± x12 + x22 1.

zAME^ANIE. zADA^A kO[I (4.4)–(4.5) DLQ NESTACIONARNOGO URAWNENIQ gAMILXTONA– qKOBI (4.4) I ALGORITM a3 EE RE[ENIQ QWLQ@TSQ ^ASTNYMI SLU^AQMI ZADA^I kO[I DLQ OB]EGO (STACIONARNOGO) URAWNENIQ gAMILXTONA–qKOBI (4.13) I ALGORITMA a4 SOOTWETSTWENNO. dEJSTWITELXNO, POLNYJ GAMILXTONIAN H, OTWE^A@]IJ URAWNENI@ (4.4), ESTX

S GAMILXTONIANOM

FUNKCIQ, OPREDELENNAQ NA RAS[IRENNOM FAZOWOM PROSTRANSTWE R2n+2 = R2x,pn × R2pt,t,

WIDA

(4.26)			H(x, t, p, pt) = pt			+ H(x, t, p),
						∂S		∂S
I \TO URAWNENIE (4.4) PRINIMAET WID H x, t,						∂x	,	∂t	= 0. sOOTWETSTWU@]AQ SISTEMA
gAMILXTONA W R2n+2 IMEET WID
(4.27)	x˙ = pH(x, t, p) = pH,							p˙ = −xH(x, t, p) = −xH,
		∂		∂				t˙ = 1
(4.28)	p˙t = −		H(x, t, p) = −		H,
(4.28)	p˙t = −	∂t	H(x, t, p) = −	∂t	H,
(ZDESX TO^KA OZNA^AET DIFFERENCIROWANIE PO PARAMETRU τ, NAPRIMER, p˙t = dpt ).
									dτ

pROEKCI@ FAZOWOJ TRAEKTORII SISTEMY (4.27)–(4.28) NA KONFIGURACIONNOE

PROSTRANSTWO Rn+1
x,t
lx,t(x0) = (x, t): x = X(x0, τ), t = τ	(x0 Ω0, τ R+1 )

NAZYWA@T PROSTRANSTWENNO-WREMENNYM LU^OM W PROSTRANSTWE-WREMENI Rnx,t+1. iNTEGRIROWANIE SISTEMY gAMILXTONA (4.27)–(4.28), O^EWIDNO, \KWIWALENTNO (ESLI

S^ITATX, ^TO τ = t) INTEGRIROWANI@ UKORO^ENNOJ SISTEMY gAMILXTONA W 2n-MERNOM

FAZOWOM PROSTRANSTWE R2x,pn H(x, t, p), KOTORAQ I ISPOLXZOWALASX W AL- GORITME a3.

§5 oBOSNOWANIE ALGORITMOW RE[ENIQ ZADA^ kO[I DLQ URAWNENIQ gAMILXTONA–qKOBI

dOKAZATELXSTWO TEOREM 4.1 I 4.2 OSNOWYWAETSQ NA LEMME gAMILXTONA.

lEMMA gAMILXTONA (NESTACIONARNYJ WARIANT). iMPULXS NA FAZOWOJ TRAEKTO-

RII RAWEN GRADIENTU DEJSTWIQ NA LU^E.

iNYMI SLOWAMI, W TO^KE x = X(x0, t), QWLQ@]EJSQ PROEKCIEJ TO^KI

X(x0, t), P (x0, t)

FAZOWOJ TRAEKTORII L

NA KONFIGURACIONNOE PROSTRANSTWO

(

RIS

4.1), W L@BOJ MOMENT

WREMENI t [0, T ] PRI WYPOLNENII USLOWIQ (4.10) IMEET MESTO RAWENSTWO

(5.1)

P (x0, t) = xS

X(x0, t), t ,

GDE FUNKCIQ

S(x, t)

OPREDELENA FORMULAMI

(4.6)–(4.11).

dOKAZATELXSTWO. pROWEDEM DOKAZATELXSTWO DLQ SLU^AQ n = 1 (x R1) (DLQ SLU^AQ

≥ 2

DOKAZATELXSTWO ANALOGI^NO).

ALGORITMA a

3 IMEEM

w SILU PUNKTOW 3◦–5◦

(5.2)

S X(x0, t), t

= S˜(x0, t) = S0(x0) +

−

x=X(x ,t ), dt ,

p=P (x00,t )

GDE SKALQRNOE PROIZWEDENIE

∂H

p, pH = p ∂p (x, t, p).

pRODIFFERENCIRUEM DANNOE RAWENSTWO (5.2) PO PARAMETRU x0, ISPOLXZUQ PRI \TOM SIS- TEMU gAMILXTONA.

∂S

X(x0, t), t

∂X

(x0, t) =

∂

S0(x0) +

∂x

∂x0

, t ) dt =

+ .0

∂P

∂H

∂ ∂H

∂H ∂X

∂H ∂P

(x0, t )

+ P

−

(x0, t ) −

(x0

∂x0

∂p

∂x0

∂p

∂x

∂x0

∂p

∂x0

∂

∂X

(x0) +

X˙ (x0, t ) + P˙ (x0, t )

(x0, t ) dt =

∂x0

∂

P (x0, t )

∂X

(x0) +

(x0, t ) dt =

∂x0

∂t

∂x0

∂

∂X

(x0) + P (x0, t)

(x0, t) − P (x0, 0)

(x0, 0).

∂x0

∂X

∂S0

∂

w SILU TOGO, ^TO

(x0, 0) = 1 I P (x0, 0) =

(x0) =

S0(x0) (SM. FORMULU (4.7)),

∂x0

∂x

∂x0

IMEET MESTO RAWENSTWO

∂S

X(x0, t), t

∂X

(x0, t) = P (x0, t)

(x0, t),

∂x

∂x0

∂X

KOTOROE \KWIWALENTNO (5.1), POSKOLXKU IZ USLOWIQ (4.10): ∂x0 (x0, t) = 0 DLQ L@BYH x0 R I L@BYH t [0, T ].

lEMMA gAMILXTONA (STACIONARNYJ WARIANT). pUSTX WYPOLNENO USLOWIE TRANS-

WERSALXNOSTI (4.25). tOGDA IMPULXS NA FAZOWOJ TRAEKTORII RAWEN GRADIENTU \JKONALA NA LU^E.

				Lξ			,
iNYMI SLOWAMI W TO^KE x = X(ξ, τ), QWLQ@]EJSQ PROEKCIEJ TO^KI								X(ξ, τ), P (ξ, τ)
FAZOWOJ TRAEKTORII					NA KONFIGURACIONNOE PROSTRANSTWO W L@BOJ MOMENT WREMENI τ
TAKOJ, ^TO \|τ\| < τ0, PRI WYPOLNENII USLOWIQ (4.22) IMEET MESTO RAWENSTWO
	(	)
(5.3)					P (ξ, τ) = xS X(ξ, τ)	,
GDE FUNKCIQ S x			OPREDELENA FORMULAMI (4.18)–(4.24).

dOKAZATELXSTWO. pROWEDEM DOKAZATELXSTWO DLQ SLU^AQ n = 2 (x R2) (DLQ SLU^AEW

n = 1, I n > 2 DOKAZATELXSTWO ANALOGI^NO). w SILU PUNKTOW 2◦–4◦ ALGORITMA a4 IMEEM

		τ
		0
(5.4)		= S˜(ξ, τ) = S0(ξ) +		pH(x, p)	x=X(ξ,τ , dτ ,
	S X(ξ, τ)		p,
		.			p=P (ξ,τ ))

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Уравнения математической физики. Методы математической физики.

#
20.05.2014524.43 Кб67Конспект лекций по дисциплине Уравнения Математической Физики (УМФ) .pdf
#
20.05.20142.41 Mб116Лекции по дисциплине Уравнения Математической Физики.doc