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Конспект лекций по дисциплине Уравнения Математической Физики (УМФ)

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Rnx, ZAPISYWAETSQ

§4 nELINEJNYE u~p PERWOGO PORQDKA. uRAWNENIE gAMILXTONAqKOBI

4.1oSNOWNYE OPREDELENIQ I POSTANOWKA ZADA^I kO[I DLQ NESTACIONARNOGO URAWNENIQ gAMILXTONAqKOBI

oB]IJ WID NELINEJNOGO u~p PERWOGO PORQDKA :

 

 

 

∂u

 

 

(4.1)

L

x,

∂x

, u

= 0,

GDE x = (x1, . . . , xn) Rxn,

∂u

=

∂u

, . . . ,

∂u

, A L(x, p, u) – GLADKAQ WE]ESTWENNAQ

 

 

 

∂x

∂x1

∂xn

FUNKCIQ WSEH SWOIH (2n + 1) ARGUMENTOW. ~ASTNYJ SLU^AJ \TOGO URAWNENIQ

(4.2)

L

x,

∂u

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

 

 

 

 

 

 

NAZYWA@T URAWNENIEM gAMILXTONA

qKOBI

,

A FUNKCI@

L(x, p)

PEREMENNYH

x

 

n

n

 

 

 

 

 

Rx

I p Rp FUNKCIEJ gAMILXTONA ILI GAMILXTONIANOM.

 

 

 

n+1

,

rASSMOTRIM ^ASTNYJ SLU^AJ URAWNENIQ gAMILXTONAqKOBI W PROSTRANSTWE Rx

 

KOGDA L QWLQETSQ LINEJNOJ FUNKCIEJ PO ODNOJ IZ SWOIH PEREMENNYH p Rnp+1, NAPRIMER, PO KOORDINATE pn+1. oBOZNA^IM SOPRQVENNU@ pn+1 PEREMENNU@ xn+1 ^EREZ t (xn+1 = t), S^ITAQ, ^TO t – FIZI^ESKOE WREMQ. tOGDA URAWNENIE (4.2) PRIMET WID

(4.3)

L =

∂u

+ H x1, x2, . . . , xn, t,

∂u

,

∂u

, . . . ,

∂u

= 0.

 

 

 

 

∂t

∂x1

∂x2

∂xn

w KLASSI^ESKOJ MEHANIKE PRINQTO OBOZNA^ATX W \TOM SLU^AE NEIZWESTNU@ FUNKCI@ u(x, t) ^EREZ S(x, t) I NAZYWATX EE DEJSTWIEM [ ], A SOOTWETSTWU@]EE URAWNENIE (4.3) – NE-

STACIONARNYM URAWNENIEM gAMILXTONAqKOBI. tAKIM OBRAZOM, NESTACIONARNOE URAW-

NENIE gAMILXTONA–qKOBI OTNOSITELXNO FUNKCII (n + 1) PEREMENNOJ S(x, t), GDE t R – WREMQ, A x = (x1, x2, . . . , xn) – TO^KA KONFIGURACIONNOGO PROSTRANSTWA

W WIDE

(4.4)

∂S

+ H

x, t,

∂S

= 0.

 

 

∂t

∂x

zDESX H(x, t, p) – GLADKAQ FUNKCIQ WSEH SWOIH PEREMENNYH, KOTORAQ TAKVE NAZYWAETSQ

FUNKCIEJ gAMILXTONA.

dLQ URAWNENIQ (4.4) POSTAWIM ZADA^U kO[I S NA^ALXNYM USLOWIEM

(4.5)

S|t=0 = S0(x),

x Ω0 Rxn,

GDE S0(x) C(Ω0) – GLADKAQ FUNKCIQ.

 

nIVE IZLOVIM ALGORITM RE[ENIQ \TOJ ZADA^I, A TAKVE POSTANOWKU I ALGORITM RE- [ENIQ ZADA^I kO[I DLQ SLU^AQ OB]EGO (STACIONARNOGO) URAWNENIQ gAMILXTONA–qKO-

BI (4.2).

31

4.2aLGORITM a3 RE[ENIQ ZADA^I kO[I

DLQ NESTACIONARNOGO URAWNENIQ gAMILXTONAqKOBI

rASSMOTRIM ZADA^U (4.4)–(4.5).

1. wYPISATX HARAKTERISTI^ESKU@ SISTEMU DLQ (4.4) – SISTEMU gAMILXTONA W 2n-MERNOM

FAZOWOM PROSTRANSTWE R2n = Rnp × Rnx, GDE Rnx KONFIGURACIONNOE PROSTRANSTWO, Rnp IMPULXSNOE PROSTRANSTWO:

x˙ = pH(x, t, p),

(4.6)

p˙ = − xH(x, t, p).

fUNKCIQ gAMILXTONA (KLASSI^ESKIJ GAMILXTONIAN) H(x, t, p) OPREDELQETSQ PO WI-

DU (4.4).

2. pOSTAWITX DLQ (4.6) ZADA^U kO[I:

(4.7)

 

 

 

x

x

,

S

x

0

,

 

S x

 

 

S x ,

 

 

 

 

p|t=0 =

 

0

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ( x 0)( 0) = ( 0)x( 0)

 

 

 

 

 

|t=0 = x 0( )

x=x0

 

I NAJTI n-

 

 

 

 

(x0

n-MERNYJ PARAMETR)

SEMEJSTWO RE[ENIJ ZADA-

 

 

 

 

PARAMETRI^ESKOE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^I (4.6)–(4.7) NA OTREZKE [0, T ],

T > 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = X(x0, t),

 

 

 

 

 

(4.8)

 

 

 

 

Lx0 : p = P (x0, t),

0 ≤ t ≤ T.

 

Lx0 R

2n

HARAKTERISTIKA, ILI FAZOWAQ

 

 

n ,

STARTU@]AQ IZ TO^KI

(x0, p0),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAEKTORIQ

 

GDE

p0

=

 

S0(x0) (RIS.

4.1). pROEKCIQ Lx0

NA Rx ESTX LU^ , ILI TRAEKTORIQ

x =

X(x0, t), 0 ≤ t ≤ T , KLASSI^ESKOJ ^ASTICY, STARTU@]AQ IZ TO^KI x0 S NA-

^ALXNYM IMPULXSOM p0 = S0(x0).

 

 

 

 

 

 

 

 

lU^ x = X(x0,t) NA OTREZKE [0,T] ( t x = X(x0,t) — KOORDINATY LU^A ).

32

3. wY^ISLITX DEJSTWIE NA HARAKTERISTIKE Lx0 :

 

 

0

t

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.9)

˜

, t) = S0(x0) +

p, pH

H

 

x=X(x ,τ), dτ.

S(x0

 

 

 

.

 

p=P (x00,τ)

 

 

 

 

4. rAZRE[ITX PERWYE n URAWNENIJ SISTEMY (4.8) OTNOSITELXNO PARAMETRA x0, PREDPO-

LAGAQ, ^TO QKOBIAN

 

 

 

 

 

(4.10)

Jx(x0, t) =

DX(x0, t)

= 0

(x0 0, 0 ≤ t ≤ T ):

 

 

Dx0

 

 

x = X(x0, t) x0 = x0(x, t).

5. pOSTROITX FUNKCI@

 

 

S˜(x0

 

x0=x0(x,t).

(4.11)

 

S(x, t) =

, t)

 

 

 

 

)

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tEOREMA 4.1. pUSTX FUNKCIQ H(x, t, p) DWAVDY NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA PO WSEM

SWOIM ARGUMENTAM, S0(x) C(2)

Rxn

I PUSTX

pH(x, t, p)

=

0. tOGDA FORMULA (4.11)

OPREDELQET EDINSTWENNOE

DIFFERENCIRUEMOE PO

x I t RE[ENIE

ZADA^I kO[I (4.4)–(4.5)

 

 

 

 

 

W POLOSE” Πx,t = (x, t)

 

Rn+1: x

= X(x

, t), x

0

Ω ,

t

 

 

[0, T ],

Jx(x

, t) = 0

 

(RIS. 4.2).

 

 

0

 

 

0

 

 

 

0

 

dOKAZATELXSTWO BUDET PRIWEDENO NIVE (SM. §5).

pRIMER 4.1. sLEDUQ PUNKTAM ALGORITMA a3, NAJDEM RE[ENIE ZADA^I kO[I

 

∂S

 

1

 

2

αx2

 

 

 

 

 

 

 

 

∂S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1

 

∂t

+ 2m ∂x

= 0,

 

x R1, t > 0, m > 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= S0(x) = ,

α

 

 

.

S(x, t)

t=0

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

33

1) iMEEM DLQ H(x, t, p) =

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SISTEMU gAMILXTONA

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x˙ =

 

∂pH(x, t, p) = m,

 

 

 

KOTORAQ \KWIWALENTNA

 

 

 

 

 

 

mx

F

 

 

 

 

 

 

 

 

p˙ =

 

 

H(x, t, p) = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

URAWNENI@ nX@TONA

¨ =

 

x = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) nA^ALXNYE DANNYE DLQ NEE:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x t=0 = x0,

 

x0

 

R1

,

 

 

p|t=0 = S0

(x0) = αx0,

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A ZNA^ENIE FUNKCII gAMILXTONA NA FAZOWOJ TRAEKTORII Lx0

 

 

p2

 

 

α2x

2

 

H|Lx0

=

2m

Lx0

=

2m0

 

= EKIN

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ESTX KINETI^ESKAQ \NERGIQ ^ASTICY MASSOJ m, DWIVU]EJSQ RAWNOMERNO I PRQMOLI- NEJNO:

αx0

x = x0 + m t = X(x0, t), p = αx0 = const.

3) wY^ISLIM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

∂H

− H = p

 

p

1

p2 =

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

∂p

m

2m

2m

 

 

 

 

 

αx 2

0

t

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αx 2

 

2x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

S˜(x0, t) =

20 + .

 

 

2m p=αx0 dt =

20 +

2 0 t,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αx0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αt

 

 

 

 

 

x = x0 +

 

 

 

t = x0 1 +

 

,

 

 

 

 

 

 

m

 

m

 

 

 

 

 

 

x0 =

 

 

x

 

 

 

 

 

= x0(x, t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

αt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S^ITAQ, ^TO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂X

 

 

 

 

 

 

(4.12)

1 +

 

 

= Jx

(x0, t) =

 

 

(x0, t) = 0.

 

 

 

m

∂x0

 

 

 

4)tOGDA RE[ENIE ISHODNOJ ZADA^I kO[I ZADAETSQ (PRI WYPOLNENII USLOWIQ (4.12)) FORMULOJ

S(x, t) =

'

 

x02

1 +

 

 

(

 

 

 

 

 

 

1 +

 

=

 

 

 

 

.

2

m

=

x

 

αt

 

2

m

 

 

αt

 

 

 

x0

 

 

αx2

 

 

 

αt

 

 

αx2

 

 

α

 

αt

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ αt

 

2 1 +

 

 

 

 

 

 

2

1 +

 

 

 

34

 

2

 

 

SU]ESTWUET GLADKOE RE[ENIE ZADA^I

 

tAKIM OBRAZOM, POLOSKA Πx,t Rx,t, W KOTOROJ

,

 

1

 

ESLI

 

 

ZAWISIT OT ZNA^ENIJ PARAMETRA α:

ESLI

α ≥ 0,

TO

Πx,t = Rx

× [0, +∞),

α < 0,

TO

m

 

 

 

 

 

Πx,t = R1x × [0, T ], GDE T < t , t = − α .

zAME^ANIE. eSLI RASSMOTRETX BOLEE OB]EE URAWNENIE, ^EM (4.4), WIDA

∂S

∂t + H(x, t, xS, S) = 0,

TO W \TOM SLU^AE ALGORITM RE[ENIQ ZADA^I kO[I ANALOGI^EN. pRI \TOM HARAKTERISTI- ^ESKAQ SISTEMA DLQ \TOGO URAWNENIQ W PROSTRANSTWE R2n+1 IMEET WID

x˙ = pH,

∂H

,

p˙ = −xH − p

∂S

 

 

 

˙

 

 

S = p, pH − H(x, t, p, S).

4.3zADA^A kO[I DLQ STACIONARNOGO URAWNENIQ gAMILXTONAqKOBI I ALGORITM a4 EE RE[ENIQ

rASSMOTRIM STACIONARNOE URAWNENIE gAMILXTONAqKOBI

 

 

∂S

 

(4.13)

H x,

∂x

= 0, x Rn.

zADA^EJ kO[I DLQ URAWNENIQ (4.13) NAZYWAETSQ SLEDU@]AQ ZADA^A: NAJTI RE[ENIE URAW- NENIQ, UDOWLETWORQ@]EE NA GLADKOJ GIPERPOWERHNOSTI

 

x: x = X0(ξ), ξ = (ξ1, . . . , ξn−1) D, rank

∂X0

 

(ξ) = n − 1/

γn−1 =

i

n

 

∂ξj

(n 1)

 

 

 

×

 

DANNYM

 

 

 

 

 

ξ

W Rxn, GDE X0(ξ) – ZADANNAQ GLADKAQ WEKTOR-FUNKCIQ, D – OBLASTX W Rn−1, NA^ALXNYM

(4.14)

 

S|γn−1 = S0(ξ),

 

 

 

 

(4.15)

 

S|γn−1 = P 0(ξ),

 

 

 

 

GDE S0 I P 0 ZADANNYE GLADKIE FUNKCIQ I WEKTOR-FUNKCIQ, POD^INENNYE USLOWIQM

(4.16)

 

 

 

 

 

 

 

(SOGLASOWANIQ γn−1 I P 0(ξ) S URAWNENIEM (4.13));

H X0(ξ), P 0(ξ) = 0

(4.17)

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dS0(ξ) =

P 0i(ξ) dX0i(ξ)

(SOGLASOWANIQ P 0 S DIFFERENCIALOM FUNKCII S0).

i=1

35

aLGORITM a4 RE[ENIQ ZADA^I kO[I (4.13)–(4.17)

1. wYPISATX HARAKTERISTI^ESKU@ SISTEMU DLQ URAWNENIQ (4.13) — SISTEMU gAMILXTO- NA S GAMILXTONIANOM H(x, p):

(4.18)

x˙ = pH(x, p), p˙ = −xH(x, p),

GDE (x, p) R2n, x˙ =

dx

 

dp

 

 

 

 

 

 

 

, p˙ =

 

, I NAJTI (n−1)-PARAMETRI^ESKOE (ξ – (n−1)-MERNYJ

PARAMETR) SEMEJSTWO EE RE[ENIJ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = X ξ, τ

,

 

 

(4.19)

 

 

Lξ: p = P ((ξ, τ))

 

(|τ

| < τ0)

S NA^ALXNYMI DANNYMI

 

 

 

 

 

 

(4.20)

 

 

 

 

x τ=0 = X0(ξ),

 

 

 

 

 

 

p|τ=0 = P 0(ξ).

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

2. wY^ISLITX DEJSTWIE NA HARAKTERISTIKE Lξ:

 

 

 

 

 

 

 

τ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

(4.21)

S˜(ξ, τ) = S0(ξ) +

p,

 

 

pH(x, p)

 

x=X(ξ,τ , dτ .

 

 

 

.

 

 

 

 

p=P (ξ,τ ))

 

 

 

 

 

 

3. rAZRE[ITX PERWYE n URAWNENIJ SISTEMY (4.19) OTNOSITELXNO τ I ξ Rn−1 W PREDPOLOVENII, ^TO WYPOLNENO USLOWIE

(4.22)

(4.23)

4. pOSTROITX FUNKCI@

(4.24)

J

ξ, τ

) =

 

DX(ξ, τ)

,

D, τ

|

< τ

:

 

D(ξ, τ)

(

 

 

= 0 ξ

|

0

 

 

x = X(ξ, τ)

ξ = ξ(x),

 

 

 

 

 

τ = τ(x).

 

 

 

 

 

 

S(x) = S˜(ξ, τ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ=ξ(x) .

 

 

 

 

 

 

 

)

*

 

 

 

 

 

 

 

 

τ=τ(x)

 

 

 

 

tEOREMA 4.2. pUSTX WYPOLNENO USLOWIE TRANSWERSALXNOSTI

 

 

 

∂X0

 

 

 

 

(4.25)

det

i

 

, pH X0(ξ), P 0(ξ) = 0.

 

∂ξj

 

 

tOGDA

FORMULA (4.24) OPREDELQET

EDINSTWENNOE

GLADKOE RE[ENIE

ZADA^I kO[I

(4.13)–(4.15) W OKRESTNOSTI V (γ) =

 

 

 

, J(ξ, τ) = 01.

0x Rn: x = X(ξ, τ), ξ D, |τ| < τ0

36

dOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY PO^TI DOSLOWNO POWTORQET DOKAZATELXSTWO TEOREMY 4.1.

uPRAVNENIE. dOKAVITE TEOREMU 4.2.

pRIMER 4.2. dLQ URAWNENIQ \JKONALA W GEOMETRI^ESKOJ OPTIKE (SM. TAKVE PUNKT ??).

 

 

 

 

∂S

2

 

 

∂S

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

(4.13 )

 

 

 

 

+

 

 

= 1,

(x1, x2) R2,

 

 

∂x1

∂x2

RE[IM ZADA^U kO[I S NA^ALXNYMI USLOWIQMI

 

 

 

 

(4.14 )

 

 

 

 

 

 

 

 

S|γ = S0 = 0,

 

 

 

(4.15 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

|

γ = P 0(ξ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GDE γ – OKRUVNOSTX x12 + x22 = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wWEDEM ESTESTWENNU@ PARAMETRIZACI@ KRIWOJ γ:

 

 

 

 

x1 = X01(ξ) = cos ξ,

 

 

 

x2 = X02(ξ) = sin ξ,

ξ [0, 2π].

nAJDEM WEKTOR

 

0

(ξ) = P

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

USLOWIJ SOGLASOWANIQ

(4.16 )

P

 

1

(0ξ), P0 2(ξ) IZ0

 

2

+ P

0

2

− 1 = 0,

 

 

H P 1, P

2

= P

1

 

2

 

0 = P 01(ξ) dX01(ξ) + P 02(ξ) dX0

2(ξ) = P 01(ξ) d(cos ξ) + P 02(ξ) d(sin ξ) =

(4.17 )

−P 01(ξ) sin ξ dξ + P 02(ξ) cos ξ dξ.

 

 

 

 

=

 

 

 

 

rE[ENIE POSLEDNEJ SISTEMY:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P±0

1(ξ) = ± cos ξ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P±0

2(ξ) = ± sin ξ.

 

 

 

oTS@DA USLOWIE (?? ) PRINIMAET WID

 

 

 

 

 

 

±

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos ξ

 

 

 

(4.15 )

 

 

 

 

 

 

S±

γ =

± sin ξ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tAKIM OBRAZOM, W ZAWISIMOSTI OT WYBORA ZNAKA ( + ILI − ) MY POLU^AEM ODNU IZ DWUH ZADA^ kO[I WIDA (?? )–(?? ). rE[ENIQ \TIH ZADA^ BUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ S±(x). sLEDUQ PUNKTAM ALGORITMA a4, NAJDEM S±(x).

1)gAMILXTONIAN DLQ URAWNENIQ (?? ) IMEET WID H(x, p) = p12 + p22 − 1. wYPISYWAEM SISTEMU gAMILXTONA:

x˙ = 2p ,

1 1

2 = 2p2,

1 = 0,

2 = 0.

37

2) nA^ALXNYE USLOWIQ DLQ NEE:

 

x1 τ=0 = cos ξ,

|

 

 

 

 

|

 

±

 

 

 

 

x2|τ=0

= sin ξ,

p1± τ=0 =

 

cos ξ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

± sin ξ.

p2±|τ=0

=

nAHODIM RE[ENIE POLU^ENNOJ ZADA^I kO[I:

 

x1±

(4.19 )

x2±

 

 

p1±

 

 

 

 

p±2

=cos ξ ± 2τ cos ξ = cos ξ · (1 ± 2τ),

=sin ξ ± 2τ sin ξ = sin ξ · (1 ± 2τ),

=± cos ξ,

=± sin ξ.

3) wY^ISLIM

τ

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

τ

 

τ

(2p 2

 

 

p1= cos ξ, dτ =

 

 

S˜±(ξ, τ) =

+ 2p 2)

 

 

 

.

1

2

 

p2=±± sin ξ

 

 

 

 

0

 

 

 

 

=

0

2 · 1 dτ = 2τ.

= .

2 (± cos ξ)2 + (± sin ξ)2

.

4)rAZRE[IM PERWYE DWA URAWNENIQ SISTEMY (?? ) OTNOSITELXNO τ. wOZWEDQ W KWADRAT I SLOVIW OBE ^ASTI \TIH URAWNENIJ, NAHODIM

 

τ± =

 

− 1

,

 

 

 

 

 

 

 

x12 + x22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2±2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

− 1

 

 

 

 

 

 

 

τ2± =

 

x1 + x2

.

 

 

 

 

 

 

 

±2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pRI \TOM QKOBIAN IMEET WID

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J± = det

− sin ξ · (1 ± 2τ)

±2 cos ξ

=

 

2

4τ.

 

cos ξ · (1 ± 2τ)

±2 sin ξ

 

 

 

5) o^EWIDNO, ^TO WTOROJ IZ \TIH KORNEJ NE UDOWLETWORQET NA^ALXNOMU USLOWI@. tOGDA

,

S±(x) = ± x12 + x22 1.

zAME^ANIE. zADA^A kO[I (4.4)–(4.5) DLQ NESTACIONARNOGO URAWNENIQ gAMILXTONA– qKOBI (4.4) I ALGORITM a3 EE RE[ENIQ QWLQ@TSQ ^ASTNYMI SLU^AQMI ZADA^I kO[I DLQ OB]EGO (STACIONARNOGO) URAWNENIQ gAMILXTONA–qKOBI (4.13) I ALGORITMA a4 SOOTWETSTWENNO. dEJSTWITELXNO, POLNYJ GAMILXTONIAN H, OTWE^A@]IJ URAWNENI@ (4.4), ESTX

38

S GAMILXTONIANOM

FUNKCIQ, OPREDELENNAQ NA RAS[IRENNOM FAZOWOM PROSTRANSTWE R2n+2 = R2x,pn × R2pt,t,

WIDA

(4.26)

 

 

H(x, t, p, pt) = pt

+ H(x, t, p),

 

 

 

 

 

∂S

∂S

 

I \TO URAWNENIE (4.4) PRINIMAET WID H x, t,

∂x

,

∂t

= 0. sOOTWETSTWU@]AQ SISTEMA

gAMILXTONA W R2n+2 IMEET WID

 

 

 

 

 

 

(4.27)

x˙ = pH(x, t, p) = pH,

 

 

p˙ = −xH(x, t, p) = −xH,

 

 

 

 

t˙ = 1

(4.28)

t = −

 

H(x, t, p) = −

 

H,

 

 

∂t

∂t

 

 

(ZDESX TO^KA OZNA^AET DIFFERENCIROWANIE PO PARAMETRU τ, NAPRIMER, p˙t = dpt ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pROEKCI@ FAZOWOJ TRAEKTORII SISTEMY (4.27)–(4.28) NA KONFIGURACIONNOE

PROSTRANSTWO Rn+1

 

x,t

 

lx,t(x0) = (x, t): x = X(x0, τ), t = τ

(x0 0, τ R+1 )

NAZYWA@T PROSTRANSTWENNO-WREMENNYM LU^OM W PROSTRANSTWE-WREMENI Rnx,t+1. iNTEGRIROWANIE SISTEMY gAMILXTONA (4.27)–(4.28), O^EWIDNO, \KWIWALENTNO (ESLI

S^ITATX, ^TO τ = t) INTEGRIROWANI@ UKORO^ENNOJ SISTEMY gAMILXTONA W 2n-MERNOM

FAZOWOM PROSTRANSTWE R2x,pn H(x, t, p), KOTORAQ I ISPOLXZOWALASX W AL- GORITME a3.

§5 oBOSNOWANIE ALGORITMOW RE[ENIQ ZADA^ kO[I DLQ URAWNENIQ gAMILXTONAqKOBI

dOKAZATELXSTWO TEOREM 4.1 I 4.2 OSNOWYWAETSQ NA LEMME gAMILXTONA.

lEMMA gAMILXTONA (NESTACIONARNYJ WARIANT). iMPULXS NA FAZOWOJ TRAEKTO-

RII RAWEN GRADIENTU DEJSTWIQ NA LU^E.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iNYMI SLOWAMI, W TO^KE x = X(x0, t), QWLQ@]EJSQ PROEKCIEJ TO^KI

X(x0, t), P (x0, t)

FAZOWOJ TRAEKTORII L

NA KONFIGURACIONNOE PROSTRANSTWO

(

RIS

.

4.1), W L@BOJ MOMENT

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

WREMENI t [0, T ] PRI WYPOLNENII USLOWIQ (4.10) IMEET MESTO RAWENSTWO

(5.1)

 

 

 

 

P (x0, t) = xS

X(x0, t), t ,

 

 

 

 

 

 

GDE FUNKCIQ

S(x, t)

OPREDELENA FORMULAMI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.6)–(4.11).

 

 

 

 

 

 

 

dOKAZATELXSTWO. pROWEDEM DOKAZATELXSTWO DLQ SLU^AQ n = 1 (x R1) (DLQ SLU^AQ

n

≥ 2

DOKAZATELXSTWO ANALOGI^NO).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ALGORITMA a

3 IMEEM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w SILU PUNKTOW 3–5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.2)

S X(x0, t), t

= S˜(x0, t) = S0(x0) +

p,

pH

H

x=X(x ,t ), dt ,

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

p=P (x00,t )

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39

GDE SKALQRNOE PROIZWEDENIE

∂H

p, pH = p ∂p (x, t, p).

pRODIFFERENCIRUEM DANNOE RAWENSTWO (5.2) PO PARAMETRU x0, ISPOLXZUQ PRI \TOM SIS- TEMU gAMILXTONA.

 

∂S

X(x0, t), t

∂X

(x0, t) =

 

S0(x0) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

 

 

t

 

 

 

 

 

∂x0

 

 

 

 

 

 

 

∂x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, t ) dt =

 

 

+ .0

 

 

∂P

 

 

 

 

 

 

∂H

 

 

 

 

 

∂ ∂H

∂H ∂X

 

 

 

 

 

 

∂H ∂P

 

 

 

 

 

 

 

 

(x0, t )

 

 

+ P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x0, t ) −

 

 

 

(x0

 

 

 

∂x0

∂p

∂x0

∂p

∂x

∂x0

∂p

∂x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

S0

(x0) +

.0

 

P

 

 

 

X˙ (x0, t ) + P˙ (x0, t )

 

 

 

(x0, t ) dt =

 

 

 

∂x0

 

∂x0

∂x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

P (x0, t )

∂X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

S0

(x0) +

.0

 

 

 

 

(x0, t ) dt =

 

 

 

 

∂x0

 

 

∂t

∂x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂X

 

 

 

 

 

 

∂X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

S0

(x0) + P (x0, t)

 

 

(x0, t) − P (x0, 0)

 

 

(x0, 0).

 

 

 

 

∂x0

∂x0

∂x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂S0

 

 

 

 

 

w SILU TOGO, ^TO

 

(x0, 0) = 1 I P (x0, 0) =

 

 

(x0) =

 

 

 

 

S0(x0) (SM. FORMULU (4.7)),

∂x0

∂x

∂x0

IMEET MESTO RAWENSTWO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂S

X(x0, t), t

∂X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x0, t) = P (x0, t)

 

 

(x0, t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

∂x0

∂x0

 

 

∂X

KOTOROE \KWIWALENTNO (5.1), POSKOLXKU IZ USLOWIQ (4.10): ∂x0 (x0, t) = 0 DLQ L@BYH x0 R I L@BYH t [0, T ].

lEMMA gAMILXTONA (STACIONARNYJ WARIANT). pUSTX WYPOLNENO USLOWIE TRANS-

WERSALXNOSTI (4.25). tOGDA IMPULXS NA FAZOWOJ TRAEKTORII RAWEN GRADIENTU \JKONALA NA LU^E.

 

 

 

 

Lξ

 

 

,

 

 

iNYMI SLOWAMI W TO^KE x = X(ξ, τ), QWLQ@]EJSQ PROEKCIEJ TO^KI

X(ξ, τ), P (ξ, τ)

 

FAZOWOJ TRAEKTORII

 

NA KONFIGURACIONNOE PROSTRANSTWO W L@BOJ MOMENT WREMENI τ

TAKOJ, ^TO |τ| < τ0, PRI WYPOLNENII USLOWIQ (4.22) IMEET MESTO RAWENSTWO

 

 

(

)

 

 

 

 

 

 

 

(5.3)

 

 

 

 

P (ξ, τ) = xS X(ξ, τ)

,

 

 

 

GDE FUNKCIQ S x

 

OPREDELENA FORMULAMI (4.18)–(4.24).

 

 

 

dOKAZATELXSTWO. pROWEDEM DOKAZATELXSTWO DLQ SLU^AQ n = 2 (x R2) (DLQ SLU^AEW

n = 1, I n > 2 DOKAZATELXSTWO ANALOGI^NO). w SILU PUNKTOW 2–4 ALGORITMA a4 IMEEM

 

 

 

τ

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

(5.4)

= S˜(ξ, τ) = S0(ξ) +

 

pH(x, p)

 

x=X(ξ,τ , dτ ,

S X(ξ, τ)

 

p,

 

 

 

 

 

.

 

 

 

p=P (ξ,τ ))

 

 

 

 

 

 

40