- •Тепловое излучение
- •Закон Стефана – Больцмана
- •Закон Вина
- •Формула Рэлея – Джинса. Ультрафиолетовая катастрофа.
- •Теория атома водорода по Бору
- •2. Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме".
- •4 . Потенциальной барьер конечной ширины. Туннельный эффект.
- •5 . Микрочастица в потенциальной яме.
- •Влияние формы потенциальной ямы на квантование энергии частицы
- •1. Гармонический осциллятор.
- •2. Атом водорода
2. Атом водорода
Э лектрон в атоме водорода движется в силовом поле положительно заряженного ядра, т. е. находится в потенциальной яме с рельефом вида: U = - kqе2/r.
Граничные условия имеют характер: .
Таким образом, имеем потенциальную яму бесконечной глубины (ящик) с радиальной симметрией, со стенками гиперболической формы (фигура вращения - типа грамофонной трубы).
Кинетическая энергия электрона Т = kqе2/2r и полная энергия Е = Т + U = - kqе2/2r = - T = |U|/2.
В соответствии с изложенными выше соображениями, можно сразу сделать заключение о бесконечно большом числе уровней энергии электрона в атоме водорода. Энергия электрона остается дискретной до тех пор, пока ее значение остается отрицательным; этому соответствует связанное состояние электрона в атоме, электрон остается внутри ямы.
Электрон за счет туннельного эффекта может кратковременно выйти за пределы ямы, (за границы), но затем обязан вернуться в нее обратно. Поэтому в квантовой теории говорят, что электрон вращается не по орбитам, а как бы размазан в пространстве в виде облака вероятности его различных местонахождений.
Стационарное уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода имеет вид:
В силу наличия сферической симметрии потенциальной энергии, уравнение Шредингера целесообразно записать и решать в сферической системе координат r, , . Оператор Лапласа в сферических координатах запишется так:
= 2 /x2 + 2 /y2 + 2 /z2 = 1/r2 /r(r2 /r) + (1/r2sin ) /(sin /) + (1/r2sin2 )2 /2
И уравнение Шредингера:
[1/r2 /r(r2 /r) + (1/r2sin ) /(sin /) + (1/r2sin2 )2/2] + (2m/ 2)(Е + kqе2/r) = 0
Представляем - функцию в виде произведения трех сомножителей с разделенными переменными r, , : ( r, , ) = R(r) () Ф(). Решаем уравнение Шредингера методом разделения переменных. Возможность такого разделения доказывается в процессе решения.
После подстановки выражений для потенциальной энергии и волновой функции электрона в атоме водорода в уравнение Шредингера, оно распадается на три уравнения, каждое из которых записано для своей сферической координаты:
1) R(r) = 1(n, l); 2) () = 2(l, m); 3) Ф() = 3(m).
В этих уравнениях появляются квантовые числа n, l, m, как параметры при решениях соответствующих уравнений.
Решив три уравнения, получаем выражение для полной энергии электрона в атоме водорода, которая квантуется: Еn = - k2mqе4/2n2 2. Это выражение совпадает с полученным ранее в полуклассической теории Бора. Напомним, что Бор, и позднее Зоммерфельд, постулировали введение квантовых чисел в теорию. Здесь же, в квантовой теории, квантовые числа вводятся не "вручную", а вытекают естественным образом в результате решения уравнения Шредингера. Четвертое квантовое число – спиновое, в нерелятивистском уравнении Шредингера не появляется. Оно вытекает из более общего, релятивистского уравнения Дирака.
Главное квантовое число n и в квантовой, и в классической теории определяет полную энергию электрона в атоме водорода: Еn = - k2mqе4/2n2 2.
Орбитальное (азимутальное, побочное) квантовое число l, по Бору-Зоммерфельду, определяло форму орбиты электрона (ее отличие от круговой орбиты, ее "эллиптичность"). В квантовой же теории это число определяет форму электронного облака и численно - момент импульса электрона в нем:
.
Число l = 0, 1, 2, … (n - 1) изменяется, начиная с нуля, а у Бора с 1. При l = 0, L = 0 - нет вращения. Электронное облако имеет конфигурацию сферы. Такое состояние, называемое S - состоянием, в классической теории невозможно. Там орбиты были плоскими, и сферически симметричный случай был невозможен. Состоянию с нулевым значением момента импульса в теории Бора соответствовало бы прямолинейное движение электрона вдоль диаметра атома.
Магнитное квантовое число m у Бора - Зоммерфельда определяло ориентацию эллиптической орбиты электрона в пространстве, а в квантовой теории - ориентацию электронного облака в пространстве и численно - проекцию L момента импульса на некоторое выделенное направление z:
Lz = m , где m = 0, 1, 2, … l.
Для l = 0 (S - состояние) и m = 0 - сферическая симметрия, нет никакой избранной симметрии в пространстве, то есть каких-либо выделенных в нем направлений.
Рассмотрим поподробнее 1S - состояние – простейший, сферически симметричный случай распределения плотности вероятности в пространстве. Это состояние является стационарным невозбужденным. В нем волновая функция (r, , ) = (r) - не содержит зависимости от угловых координат и , и уравнение Шредингера запишется так:
.
Решение ищем в виде - простейшей сферически симметричной функции. Подставив в уравнение Шредингера, получим:
Полагаем равными нулю каждое из слагаемых по отдельности:
и ; и .
В итоге для энергии электрона в 1S - состоянии имеем: - как у Бора.
В ероятность dP1 местонахождения электрона в элементарном сферическом (шаровом) слое с объемом dV = 4r2dr равна: . Радиальная плотность вероятности (радиальная функция распределения): - функция с максимумом. Плотность вероятности имеет максимум, при r = rо, который и соответствует значению радиуса первой орбиты по теории Бора.
. У Бора для радиуса орбит было: .
По теории Бора - Зоммерфельда электроны в атоме вращались по орбитам. В квантовой механике орбит как таковых нет, а есть целые пространственные области (облака), в которых электрон может находиться с разной вероятностью. Но у этого облака пространственного распределения вероятности местонахождения электрона есть максимумы, которые и попадают на радиусы боровских орбит. Таким образом, теория Бора есть некоторое приближение к более глубокой и полной, адекватной теории микробытия - к квантовой теории.
В невозбужденном 1S - состоянии вероятность найти электрон в разных направлениях одна и та же, зависящая только от радиуса. В возбужденных состояниях (при n 1 и l 0) плотность вероятности начинает зависеть и от углов и . Рассмотрим, например, состояние с = 1, называемое р - состоянием. В нем имеем три ориентации облака вероятности с m = 0, 1.
Для l = 1 она изображается фигурой типа гантели. Вдоль направления вероятность найти электрон по теории Бора, равна нулю.
Д
Для электрона в атоме водорода, как и для гармонического осциллятора, существуют определенные правила отбора, ограничивающие число возможных переходов электрона в атоме, связанных с дипольным излучением и поглощением света. Согласно этим правилам, побочное квантовое число l может изменяться на единицу, то есть l = 1, а магнитное квантовое число m – на ноль и единицу, то есть m = 0, 1. Переходы электрона с n – го на первый уровень (серия Лаймана), то есть в 1S состояние, могут осуществлять лишь из р – состояний: nр 1S. Соответственно переходы электрона на второй уровень (серия Бальмера) могут происходить по схемам: nр 2S, nS 2р, nd 2р.
1С латинского сorpuskulum - частица
2Формулу Планка Е = hзаписывают и через циклическую частоту= 2: Е = h= h/2=, где константу
= h/21,0510-34Джс, тоже называют постоянной Планка.
3С латинскогоlokus – место.
4Спектром какой либо величины называют совокупность значений, которые может принимать эта величина.
5Под световым потоком Ф понимают величину, равную энергии излучения, падающего на поверхность за единицу времени.
6 Красную границу фотоэффекта часто выражают через максимальнуюдлину волнысветао= со; для многих веществ она
лежит в красном диапазоне света.
7При достаточно высокой частотесвета, облучающего фотокатод, скоростьфотоэлектронов может приближаться к ско-
рости света в вакууме с = 3108м/с, и тогда от классического выражения для кинетической энергии Ек= m2/2 необходимо
переходить к релятивистскому выражению: Ек= mс2/(1 –2/с2) - mс2.
8Световой поток Ф представляет собой мощность излучения, падающего на поверхность, а интенсивность излучения есть поверхностная плотность светового потока, то есть мощность излучения, приходящаяся на единицу площади.
9Изе= h/mchс/е= mс2, откуда комптоновская длина волныедля электрона равна длине волны фотона, при которой его энергия Еф= hс/еравна энергии покоя mс2электрона.
10Золото легко расплющивается, и толщину фольги можно довести до слоя в несколько сот атомов. В тонкой фольге возрастает вероятность однократных столкновений- частиц с атомами, что и было важным для опыта Резерфорда.
11Стационарное состояние с наименьшей энергией называетсяосновным.
12Возможны переходы электрона в атоме «сверху вниз» и без излучения кванта света. В этом случае энергия возбуждения отдается обычно решетке твердого тела, то есть в виде внутренней, тепловой энергии.
13Обычно соударения легкого электрона с массивным атомом ртути носят упругий характер – без изменения энергии электрона.
14В квантовой механике принцип соответствия будет выражаться иным, нежели nусловием, а именно 0.
15В релятивистском случае, прис, необходимо использовать более общее выражение для импульса: р = (1/с)(Е2– m2с4).
16У микрообъектов дебройлевская длина волны оказывается много больше, а у макрообъектов много меньше их собственных размеров.
17Величина в соотношениях неопределенности носит не строгий, а оценочный характер. У разных авторов можно встре-
тить и /2, и 2 .
18В математике оператор Гамильтона (набла – оператор) есть дифференциальный оператор вида .
19Все меняется столь часто, что практически ничего не меняется.