5 . Микрочастица в потенциальной яме.

Рельеф потенциальной ямы аналитически и графически задается следующим образом:

.

А

нализ поведения микрочастицы в потенциальной яме можно провести, представляя яму в виде двух потенциальных барьеров - ступенек бесконечной ширины. Как и ранее, рассмотрим 2 случая в зависимости от соотношения энергии Е частицы и глубины (высоты) U_о ямы:

1. E > U_о. Частица, пролетая над ямой (двумя потенциальными ступеньками), будет представляться  - функциями в виде бегущих волн разной длины волны; полная энергия частицы по-прежнему будет непрерывной и неизменной. На каждой из потенциальных границ-ступенек частица может испытывать отражение, а может с определенной вероятностью и пройти дальше.

2. E < U_о. Привлекаем результаты рассмотрения поведения микрочастицы с энергией меньшей высоты барьера, полученные ранее. Для частицы внутри ямы волновая функция имеет волновой характер, а вне ее - вид затухающих экспонент.

Волновое число k и энергия частицы в яме, как и в ящике, тоже квантуются, принимая следующие значения: ; р = k, . При n = 1 имеем основное состояние с минимальной энергией. Состояния с n = 2, 3,... называются возбужденными. Число энергетических уровней частицы в потенциальной яме оказывается ограниченным условием = U_о. Отсюда максимальное число энергетических уровней в яме равно: n_макс = (а/ )2mU_о.

П

отенциальная яма, в отличие от рассмотренного ранее ящика (пример 3), имеет стенкиконечной высоты. Волновая функция на границах ящика должна была обращаться в ноль. Бесконечно высокие стенки уменьшают вероятность проникновения микрочастицы за их границы до нуля. В яме же, в силу конечной высоты ее стенок, волновая функция (а с нею и вероятность местонахождения) частицы, экспоненциально убывает и имеет ненулевые значения и за пределами ямы.

Энергетический спектр микрочастицы в яме, как и в ящике, является дискретным. Но, в отличие от ямы, число энергетических уровней в которой конечно, бесконечно высокие стенки ящика приводят к бесконечному числу энергетических уровней частицы в ящике. В яме же существует такое значение E_n энергии частицы, при котором она будет большей высоты U_о стенок ямы, и частица сможет выйти из ямы, стать свободной, где ее энергия непрерывна.

Общие условия квантования энергии.

В классической физике определенное квантование движения имело место применительно к волнам (и колебаниям) в условиях их локализации (например, в резонаторах). В области локализации устанавливался характерный (резонансный) режим стоячих волн, при котором на ее длине L должно было укладываться целое число n длин полуволн, то есть L = n/2. Частотный спектр резонатора оказывался при этом дискретным. Так, набор собственных частот электромагнитных колебаний резонатора определяется выражением _{рез n} = с/ = nс/2L, где n = 1, 2, 3, .. . Энергия же осциллятора в классической физике связана не с частотой, а с амплитудой, и потому, как и амплитуда, может принимать любые значения, то есть обладает непрерывным спектром.

В квантовой механике, как показывают рассмотренные выше примеры, в условиях локализации микрочастицы ее движение изображается волновой функцией также в виде стоячей волны. Эта волна также обладает дискретным спектром частот (волновых чисел k = 2/). Но здесь эта дискретность влечет за собой дискретность импульсного (р = k) и энергетического (Е  k²) спектра частицы.

Можно сделать общий вывод, что любое связанное, "запертое", локализованное состояние микрочастицы (в какой либо потенциальной яме) обладает квантованными значениями мер движения (энергии и импульса). Характер движения связанной частицы является финитным (ограниченным), в отличие от инфинитного (неограниченного) движения свободной частицы.

Аналитически общие условия квантования энергии микрочастицы и можно задать как условия ее локализации (двухсторонней пространственной ограниченности области ее движения): .

Волновая функция (х) квадратом своего модуля |(х)|² выражает плотность вероятности местонахождений частицы. Поэтому условие (х)  0 при х    означает, что с ненулевой вероятностью частица обнаруживается в некоторой конечной, ограниченной области (между –  и + ), которая и есть область ее локализации.

Характерные особенности движения частиц в ямах:

1. Спектр энергии дискретен.

2. В наинизшем состоянии (n = 1) энергия частицы отлична от нуля.

3. Квантование тем заметнее, чем меньше масса частицы и размеры ямы.

4. При больших n квантование нивелируется, имеем, согласно принципу соответствия, переход от квантовой к классической механике.