Влияние формы потенциальной ямы на квантование энергии частицы
1. Гармонический осциллятор.
П
В соответствии с рассмотренными ранее общими условиями, энергия линейного гармонического осциллятора должна квантоваться, т. е. принимать дискретные значения.
Напомним сначала результаты классического рассмотрения задачи о гармоническом осцилляторе. Там, на основе уравнения движения - второго закона Ньютона: с упругой силой F = - kx, получается решение в виде: , где - частота собственных колебаний осциллятора. Потенциальная энергия и кинетическая энергия осциллятора изменяются так, что их сумма . Таким образом, в классическом случае амплитуда и энергия колебаний изменяются непрерывно, будучи ограничены пределами, соответственно, xо и . Качественно можно оценить распределение вероятностей местонахождения гармонически колеблющейся частицы. Положение равновесия х = 0, осциллятор пролетает, имея наибольшую скорость, т. е. наиболее быстро. На краях же (в точках поворота), при х = хо, осциллятор (маятник) замедляется до нулевой скорости. При этом притормаживании он задерживается в крайних точках, проводя в них время заметно большее, нежели в положении равновесия при х = 0. Таким образом, это качественное рассмотрение позволяет сделать вывод о том, что плотность вероятности dР/dх местонахождения осциллятора в положении равновесия минимальна, а в крайних точках - максимальна.
К
Уравнением движения берем уравнение Шредингера для стационарных состояний
с потенциальной энергией в виде: , где k = mо2.
Подставляя в уравнение Шредингера выражение для U, имеем:
.
Как показывается в теории дифференциальных уравнений, решение уравнения для линейного гармонического осциллятора имеет место лишь при определенных значениях энергии Е, которая играет роль параметра в уравнении. Разрешенные значения энергии линейного гармонического осциллятора, называемые его собственными значениями, выражаются следующей формулой:
Еn = (n + 1/2)о, где n = 0, 1, 2, ...
Энергетический спектр гармонического осциллятора является эквидистантным с = const.
В отличие от атома водорода, спектр гармонического осциллятора содержит всего одну спектральную линию, соответствующую частоте о. Поэтому осциллятор может совершать переходы с n – го уровня лишь на соседние (n 1) - ые уровни. Эта его особенность отражается в существовании специального правила отбора для квантового числа n = 1. В соответствии с ним, квантовое число n гармонического осциллятора единовременно может изменяться лишь на единицу.
При n = 0 имеем состояние с так называемой нулевой энергией Ео = о/2. Наличие нулевой энергии является характерным отличием квантовой теории, специфическим квантовым эффектом. Его необходимость проистекает уже из соотношений неопределенности Гейзенберга, ибо Ео = 0 означало бы наличие одновременно точных значений (нулевых) и координаты, и импульса.
В
Квантовомеханический анализ приводит к следующему выражению для плотности вероятности в самом нижнем (нулевом) состоянии (при n = 0) .
Соответственно в следующих, возбужденных состояниях с n = 1, 2, ... плотность вероятности имеет следующий вид:
С возрастанием n волновая функция осциллирует все чаще, соответственно, возрастает число «равновероятных» мест, которые при n покрывают собой практически всю доступную осциллятору область. Все меняется столь часто, что практически ничего не меняется. Имеем, согласно принципу соответствия, переход к классической механике.
Микрочастица может за счет туннелирования с некоторой вероятностью выходить за пределы xо, куда макрочастица заходить не может. Но всегда микрочастица возвращается обратно, ибо она связана, являясь осциллятором (гармонически колеблющейся системой