Методические указания

Метод деления отрезка пополам является простейшим после­довательным методом минимизации. Он позволяет для любой функ­ции f(x)Q[а; b]построить последовательность вложенных отрезков , каждый из которых содержит хотя бы одну из точек минимума х* функции f(х) Пусть >0 - требуемая точность определения точки х*. Выбрав , построим последовательности ,используя рекуррентные формулы:

	(17)
	(18)
если	(19)
если	(20)

Переход от отрезка к отрезку методом деления отрезка пополам иллюстрируется на рис. 1.2а), если и на рис. 1.2б), если

а) б)

Рис.1.1. Метод деления пополам

Полагая , находим х* с абсолютной погреш­ностью, не превосходящей величины

Используя условие , из последнего выражения можно найти необходимое число шагов п для обеспечения требуемой точ­ности . Однако на практике часто поступают иначе: определив границы отрезка , вычисляют и сравнивают с заданной точностью .

Контрольные вопросы:

1. Для каких функций применим метод деления пополам?

2. Как выбрать величину ?

3. Как влияет на количество шагов?

4. Какое условие выхода при нахождении минимума (максимума) функции при помощи метода деления пополам?

5. Какие преимущества и недостатки можно выделить при нахождении минимума (максимума) функции методом деления пополам, используя Microsoft Excel?

Пример выполнения задания

Н айти минимум унимодальной функции f(x) методом деления отрезка пополам с точностью  = 0,001.

(1.5)

Необходимо сначала локализовать минимум функции, следует пользоваться графиком1.2:

Рисунок 1.2 – График заданной функции

На графике минимум функции находится на отрезке [0.1;0.95].

Применим метод деления отрезка пополам к функции на отрезке [0.1;0.95] с точность  = 0,001.

Таблица 1.1 – Вспомогательные расчеты для метода деления отрезка пополам

n	an	bn	εn	x1n	x2n	f(x1n)	f(x2n)
0	0,1	0,95	0,425	0,524333	0,525667	-0,62757981	-0,627612512
1	0,524333	0,95	0,212833333	0,7365	0,737833	-0,507820075	-0,506158931
2	0,524333	0,737833	0,10675	0,630417	0,63175	-0,601142669	-0,60041296
3	0,524333	0,63175	0,053708333	0,577375	0,578708	-0,621921119	-0,62158977
4	0,524333	0,578708	0,0271875	0,550854	0,552188	-0,626557985	-0,626412418
5	0,524333	0,552188	0,013927083	0,537594	0,538927	-0,627511641	-0,627456079
6	0,524333	0,538927	0,007296875	0,530964	0,532297	-0,627655345	-0,627644124
7	0,524333	0,532297	0,003981771	0,527648	0,528982	-0,627644853	-0,627655645
8	0,527648	0,532297	0,002324219	0,529306	0,530639	-0,627656934	-0,627656733
9	0,527648	0,530639	0,001495443	0,528477	0,529811	-0,6276526	-0,627657899
10	0,528477	0,530639	0,001081055	0,528892	0,530225	-0,627655194	-0,627657743
11	0,528892	0,530639	0,000873861
x*	0,529765	f(x*)	-0,627657864

Из таблицы 1.1 видно, что на 11-ом шаге метода золотого сечения для данной функции достигается заданная точность.

МЕТОД ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ