Нахождение интерполяционного многочлена лагранжа. Методические указания
Многочлен Лагранжа строится в том случае, когда аналитический вид функции f(x) неизвестен. Для аппроксимации достаточно знать значения f(x) в некоторых точках xi .
Пусть есть f(x) и fi=f(xi), т.е. значения известны. Построим многочлен степени <=n такой, чтобы его значения в точках xi совпадали со значениями функции в этих точках : L n(x i)=f(x i). Т.е. интерполируем функцию f(x), а точки xi называются узлами интерполяции.
Если точка x лежит вне пределов отрезка, содержащего xi, тогда процесс называется экстраполяцией.
Теорема: Многочлен Ln, удовлетворяющий условию Ln(xi)=f(xi), существует и единственен.
, (16)
где
- многочлен степени
n.
L n(x) - интерполяционный многочлен Лагранжа.
-
лагранжевы
коэффициенты.
Задание
Найти многочлен Лагранжа для заданной функции;
Построить график исходной функции;
Построить график многочлена Лагранжа. Графически показать разность между исходной функцией и построенным многочленом.
|
|
|
|
Контрольные вопросы:
Дать определение аппроксимации?
Дать определение интерполяции?
Что такое узлы интерполяции?
Чем аппроксимация отличается от интерполяции?
Какие преимущества и недостатки можно выделить при нахождении многочлена Лагранжа, используя Microsoft Excel?
Пример выполнения задания
Даны 5 узлов интерполяции и значения функции в них. Необходимо воспользоваться формулой 16 и составить полином.
X |
f(X) |
Узлы |
|
|
|
|
|
Ln(x) |
f(x)-Ln(x) |
4,51 |
4,711 |
х0 |
4,711 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
4,711 |
0,000 |
4,511 |
|
|
1,288 |
5,171 |
-2,595 |
1,041 |
-0,187 |
4,719 |
-4,719 |
4,511 |
4,728 |
х1 |
0,000 |
4,728 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
4,728 |
0,000 |
4,512 |
|
|
-0,184 |
2,216 |
3,336 |
-0,744 |
0,112 |
4,736 |
-4,736 |
4,512 |
4,744 |
х2 |
0,000 |
0,000 |
4,744 |
0,000 |
0,000 |
4,744 |
0,000 |
4,513 |
|
|
0,110 |
-0,739 |
3,336 |
2,232 |
-0,187 |
4,753 |
-4,753 |
4,513 |
4,761 |
х3 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
4,761 |
0,000 |
4,761 |
0,000 |
4,514 |
|
|
-0,184 |
1,034 |
-2,595 |
5,207 |
1,306 |
4,769 |
-4,769 |
4,514 |
4,778 |
х4 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
4,778 |
4,778 |
0,000 |
Построить графики функции и полинома.
МЕТОД ДЕЛЕНИЯ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ.