Министерство образования и науки

Российской Федерации

Федеральное государственное Автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Волгодонский инженерно-технический институт – филиал НИЯУ МИФИ

Методические указания

к лабораторным работам

по дисциплине «Численные методы»

для студентов специальностей:

230201 «Информационные системы и технологии»

220301 «Автоматизация технологических процессов»

всех форм обучения

Волгодонск 2010

Рецензент д.т.н., профессор В.В. Кривин

Составители: ст. преп. Цуверкалова О.Ф., ст. преп. Лифанская Л.И.

Метод. указ. к лабораторным работам с использованием табличного процессора Microsoft Excel и MathCAD по дисциплине «Численные методы» /ВИТИ НИЯУ МИФИ. Волгодонск, 2010. 38 с.

ã ВИТИ НИЯУ МИФИ, 2010

• О.Ф. Цуверкалова, Л.И. Лифанская, 2010

ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

Лабораторные работы необходимо выполнять в Microsoft Excel и в MathCAD в соответствии с номером варианта по журналу.

Задания, выполняемые в Microsoft Excel, должны быть расположены на отдельных листах одной рабочей книги. Каждый лист подписывается по названию расположенного на нем задания.

Решение систем уравнений методом Гаусса и методом простых итераций представить в Microsoft Excel и в MathCAD с выполнением проверки.

Для метода деления отрезка пополам и метода Ньютона отрезки выбираются самостоятельно.

Метод деления отрезка пополам необходимо выполнить вручную и с помощью логической функции «если».

Для построения полинома Лагранжа необходимо самостоятельно выбрать промежуточные значения переменной х между известными (заданными) значениями узлов интерполяции, например, найти середину между соседними узлами интерполяции.

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Методические указания

Метод Гаусса относится к точным методам решения систем линейных уравнений вида , где Х – вектор-столбец неизвестных , - матрица коэффициентов, В – вектор-столбец свободных членов . Метод Гаусса заключается в приведении матрицы системы к треугольному виду (прямой ход метода) и затем в последовательном нахождении неизвестных (обратный ход)_.

Прямой ход метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Обозначим через - коэффициенты системы, а через - правые части уравнений, полученные на k-м шаге ( ). Преобразование коэффициентов осуществляется следующим образом:

(1)

(2)

В результате получаем систему, характеризуемую треугольной матрицей, на главной диагонали которой стоят единицы.

Полученная система уравнений имеет вид:

(2)

Нахождение неизвестных при обратном ходе метода осуществляется по формуле:

. (3)

На практике при рассмотрении метода Гаусса для того, чтобы избежать деления на нуль, применяют модифицированный метод Гаусса с выбором ведущего элемента. При этом при прямом ходе метода Гаусса перед началом каждого шага переставляют строки таким образом, чтобы первый ненулевой элемент верхней строки был наибольшим по абсолютной величине в своем столбце.

Метод Гаусса можно применять для нахождения определителя матрицы системы. В этом случае используется только прямой ход метода, и определитель матрицы будет находиться по формуле:

, (4)

где - сумма индексов переставлявшихся строк.

для нахождения обратной матрицы прямой ход метода Гаусса применяется к матрице , где А – исходная матрица, Е – единичная матрица. Преобразованиями, аналогичными указанным выше, ее можно привести к виду .